Hvaða ástæða er fyrir því að fallið e í veldinu (-x^2/2) er óheildanlegt fall?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvaða ástæða er fyrir því að fallið e í veldinu (-x^2/2) er óheildanlegt fall?
Í raun er ekki rétt orðað hjá spyrjanda að $e$ í veldinu $\frac{-x^2}{2}$ eða $exp( \frac{-x^2}{2})$ sé óheildanlegt fall. Hins vegar er ekki hægt að skrifa stofnfall þess á endanlegu formi með margliðum, hornaföllum, veldisföllum eða blöndum af þeim.

---

Upphaflega var spurningin:

Nú er fallið e í veldinu (-x²)/2 óheildanlegt fall. Er einhver sérstök ástæða fyrir því? Einnig er hægt að benda á að fallið líkist mjög fallinu 1/(1 + x²) sem er afleiðan af arctan(x). Í x = 0 og x = 1,5852 taka þau sama gildi. Einnig stefna þau bæði á 0 ef x stefnir á + eða - óendanlegt. Gæti heildið af e í veldinu (-x²/2) verið einhvern veginn tengt arctan(x)?

Fallið $exp( \frac{-x^2}{2})$ er samfellt á öllu rauntalnamenginu og það er því heildanlegt yfir sérhvert bil miðað við þá skilgreiningu sem kennd er í menntaskólum. Þar að auki hefur heildið markgildi bæði þegar efra mark þess stefnir á óendanlegt og þegar það neðra stefnir á mínus óendanlegt. Öllu heildanlegri gerast föll ekki.

Engin ástæða er til að kvarta yfir því að ekki sé hægt að skrifa stofnfallið á endanlegu formi. Í raun er það sama uppi á teningnum með $\frac{1}{x}$. Öll föll á forminu $x^n$ má heilda og skrifa svarið sem $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ nema $x^{-1}$, þá kemur í formúluna $\frac{x^0}{-1+1}$ sem er óskilgreint af því að þar er núll undir striki. Þá einfaldlega skilgreinum við nýtt fall sem við köllum $ln(t)$ þannig að $ln(t)$ sé heildið af $\frac{1}{x}$ frá $1$ og upp í $t$ og þar með er komið fínasta stofnfall fyrir $\frac{1}{x}$.

Á sama hátt er ekkert því til fyrirstöðu að skilgreina nýtt fall $g(t)$ þannig að $g(t)$ sé tegrið af $exp( \frac{-x^2}{2})$ frá $0$ og upp í $t$. Hér er þá komið stofnfall fyrir $exp( \frac{-x^2}{2})$. Þetta fall er líklega á fæstum reiknivélum en það stafar einfaldlega af því að það kemur sjaldnar fyrir en þau föll sem eru þar. Ekkert væri því þó til fyrirstöðu að setja það inn á reiknivélar, það er alveg jafnreiknanlegt og þau föll sem eru þar. Tölfræðingar kynnu að fagna þessu vegna þess að fallið $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot exp( \frac{-x^2}{2})$$lýsir hinni svokölluðu normaldreifingu. Fallið er hins vegar sýnt í ýmsum prentuðum stærðfræðitöflum.

Fallið $exp( \frac{-x^2}{2})$ er langt frá því að vera eitt um að hafa ekki stofnfall sem skrifa má á endanlegu formi með margliðum, hornaföllum og veldisföllum. Nokkur önnur einföld dæmi eru $sin(x^2)$, $\sqrt{1+cos^2(x)}$ og $\sqrt{1-x^4}$.

Það að finna raunverulega óheildanleg föll er talsvert erfitt. Í fyrsta lagi eru öll samfelld föll heildanleg eins og kemur fram að ofan. Takmörkuð föll sem eru bara ósamfelld í einstökum punktum sem hafa endanlegt bil á milli sín eru líka heildanleg. Ótakmörkuð föll geta verið óheildanleg, til að mynda er $\frac{1}{x}$ óheildanlegt á bili sem inniheldur 0. Hins vegar þarf takmarkað fall að minnsta kosti að vera ósamfellt á þéttu punktamengi til þess að vera óheildanlegt. Klassískt dæmi um slíkt fall er fall sem tekur gildið $1$ í öllum ræðum tölum en $0$ í öllum óræðum tölum. Það er óheildanlegt með þeirri skilgreiningu á heildanleika sem kennd er í menntaskóla þar sem miðað er við svonefnd Riemann-heildi. En með annarri skilgreiningu á heildum, sem kennd eru við Lebesgue, þá er jafnvel þetta fall heildanlegt!

Spyrjandi bendir á að gröf fallanna $exp( \frac{-x^2}{2})$ og $\frac{1}{1+x^2}$ líti svipað út. Það eru þó engin einföld tengsl á milli stofnfalla þeirra. Einnig má benda á að $exp( \frac{-x^2}{2})$ stefnir miklu hraðar á núll þegar $x$ stefnir á óendanlegt heldur en $\frac{1}{1+x^2}$ eins og sést á mynd....