Hvað er hægt að segja um líkindi í svokölluðum þriggja skelja leik?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvað er hægt að segja um líkindi í svokölluðum þriggja skelja leik?
Upphafleg spurning var:

Hvers vegna haldast líkurnar 1/3 að maður velji rétta skel þegar stjórnandi í svokölluðum þriggja skelja leik lyftir upp annarri af þeim tveimur skeljum sem kúlan er ekki undir og leyfir manni að giska á þær tvær sem eftir eru. Breytir það þá ekki líkunum í 1/2 þó að stjórnandi viti alltaf undir hvaða skel kúlan sé og geti því alltaf lyft upp skel með engri kúlu? Er það vegna þess að stjórnandi hefur alltaf tvo möguleika á að lyfta upp auðri skel?

Sá leikur sem hér er lýst hefur valdið miklum heilabrotum frá því að hann birtist fyrst og merkir stærðfræðingar á borð við Erdös hafa átt erfitt með að sætta sig við mótsagnakennda niðurstöðu sem hann gefur. Til að skýra leikinn skulum við hugsa okkur þrjár persónur, Ástu, Bjarna og Davíð. Ásta setur þrjár skeljar á borð og felur vinning undir einni þeirra. Síðan kallar hún á Bjarna og biður hann að giska á undir hvaða skel vinningurinn er. Bjarni giskar á skel. Þá snýr Ásta við annarri þeirra skelja, sem Bjarni giskaði ekki á, og gætir þess um leið að ekki sé vinningur undir skelinni sem hún velur. Nú býður Ásta Bjarna upp á að velja aftur á milli þeirra tveggja skelja sem enn liggja á hvolfi á borðinu. Þá kemur Davíð aðvífandi og veit ekkert um það sem á undan er gengið. Ásta býður honum líka að velja milli þeirra tveggja skelja sem liggja á hvolfi á borðinu.

Þrátt fyrir að Bjarni og Davíð hafi fyrir framan sig nákvæmlega sömu stöðuna eiga þeir ekki að beita sömu aðferð til að eiga sem mestar líkur á vinningnum. Davíð þarf raunar ekki að beita neinni sérstakri aðferð því að engu máli skipir hvora skelina hann velur; það eru nákvæmlega helmings líkur á því að hann giski rétt. Þetta gildir hins vegar ekki um Bjarna vegna þess að hann hefur fylgst með frá upphafi. Ef hann heldur sig við að velja þá skel sem hann valdi í upphafi þá eru þriðjungs líkur á að hann hljóti vinninginn, ef hann hins vegar skiptir um og velur þá skel sem hann valdi ekki fyrst eru líkurnar á að hann hljóti vinninginn tveir þriðju. Ef hann velur hins vegar af handahófi eru helmings líkur á vinningi.

Við skulum skoða þetta betur. Köllum skeljarnar A, B og C og segjum að Bjarni hafi upphaflega valið skel A. Nú eru þrír möguleikar á því hvar vinningurinn er og þeir eru allir jafnlíklegir frá sjónarhóli Bjarna:

1. Vinningurinn getur verið undir skel A. Þá getur Ásta annað hvort lyft upp skel B eða C. Hvort sem hún gerir þá fær Bjarni vinninginn ef hann skiptir ekki, það er ef hann heldur sig við A. En ef hann skiptir og velur hina óopnuðu skelina þá fær hann ekki vinninginn
2. Vinningurinn getur verið undir skel B. Þá verður Ásta að lyfta upp skel C. Hún má ekki lyfta upp skel A vegna þess að Bjarni valdi hana og ekki skel B vegna þess að þar er vinningurinn. Ef Bjarni skiptir ekki, heldur velur skel A aftur, þá fær hann ekki vinninginn en ef hann skiptir og velur B þá fær hann vinninginn.
3. Vinningurinn getur verið undir skel C. Þá verður Ásta að lyfta upp skel B. Hún má ekki lyfta upp skel A vegna þess að Bjarni valdi hana og ekki skel C vegna þess að þar er vinningurinn. Ef Bjarni skiptir ekki og heldur sig við C, þá fær hann ekki vinninginn en ef hann skiptir og velur A þá fær hann vinninginn.

Semsagt, í tveimur af þessum þremur jafnlíklegu tilfellum fær Bjarni vinninginn ef hann hefur þá aðferð að skipta um skel í annarri tilraun. Það eru því 2/3 líkur á að hann hljóti vinninginn ef hann skiptir en 1/3 líkur ef hann skiptir ekki. Og ef hann velur seinni skelina af handahófi og skiptir jafnoft um skel og hann skiptir ekki, þá eru helmings líkur á því að hann fái vinninginn, rétt eins og hjá Davíð félaga hans.

Davíð veit hins vegar ekkert um það sem gerðist áður en hann kom og hefur því enga aðferð til að gera upp á milli þeirra tveggja skelja sem hann getur valið. Auðvitað væri líka best fyrir hann að velja þá skel sem Bjarni valdi ekki fyrst en af því að hann sá ekki Bjarna velja þá veit hann ekki hvor skelin það var. Hann verður því að sætta sig við að eiga aðeins helmingsmöguleika á að giska á rétta skel.

Það sem er mótsagnakennt við aðstæður Bjarna og Davíðs er því í raun aðeins það að þótt þeir hafi sömu stöðu fyrir framan sig þá hafa þeir misgóðar aðferðir til að velja réttu skelina vegna þess að Bjarni hefur séð meira en Davíð. Þetta er þó ekki jafnskrýtið og það virðist. Skoðum aðstæður Ástu á þessum tíma. Hún hefur líka nákvæmlega sömu stöðu fyrir framan sig og Bjarni og Davíð, það er að segja tvær skeljar og einn vinning undir þeim. Það kæmi þó engum á óvart að hún geti valið rétta skel vegna þess að hún beinlínis veit hvar vinningurinn er, hún setti hann þangað. Hún hefur því aðferð sem getur skilað henni vinningnum í hvert eitt og einasta skipti, hún á að velja skelina þar sem hún setti vinninginn!

Ásta getur því giskað rétt í 100% tilfella, með því að skipta alltaf um skel getur Bjarni giskað rétt í 66% tilfella en Davíð getur aðeins vonast til að giska rétt í 50% tilfella; annað væri heppni.

Leikurinn er því prýðilegt dæmi um það að þekking okkar hefur áhrif á það hvað við eigum að gera til að ná hámarks líkindum; líkindin á tilteknum árangri af tiltekinni hegðun eru háð því hvað við vissum áður en við byrjuðum....