Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
LeiðbeiningarTil baka

Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=
Forsíða Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði Er auðveldara að læra stærðfræði með venjulegri aðferð en með Trachtenberg-aðferðinni?

Flokkun:

2.8.2000
Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Er auðveldara að læra stærðfræði með venjulegri aðferð en með Trachtenberg-aðferðinni?

Stefán Ingi Valdimarsson

Þessari spurningu er erfitt að svara afdráttarlaust. Áhangendur Trachtenberg-kerfisins halda því fram að þeirra kerfi sé einfaldara og auðlærðara. Máli sínu til stuðnings nefna þeir sögur af því hvernig Trachtenberg-kerfið hefur bylt árangri krakka sem hafa ekki haft neinn áhuga á reikningi. Ekki er þó víst að þetta sanni mál þeirra. Hin hefðbundna reikningsaðferð og aðferð Trachtenbergs eru mjög ólíkar og þess vegna er líklegt að ýmsum sem hentar illa hefðbundna aðferðin gangi vel með hinni aðferðinni. En jafn hugsanlegt er að sumum sem gangi illa með aðferð Trachtenbergs henti vel hin hefðbundna aðferð. Til þess að skera úr þessu þyrfti að gera rannsókn á hópi fólks sem hefur frá upphafi lært aðferð Trachtenbergs, finna nokkra úr þeim hópi sem gengur illa að tileinka sér hana og athuga hvort hefðbundna aðferð hentar þeim betur. Eftir því sem næst verður komist hefur slík rannsókn ekki verið gerð. Líklegt verður því að teljast að þessar aðferðir geti stutt hvor aðra og að æskilegt væri að þær væru báðar þekktar.

Í svarinu er hluta af aðferðum Trachtenberg-reiknings lýst eins og þær eru kynntar í bókinni Hraðreikningur eftir Michael Schröder.

Aðferð Trachtenbergs til að kenna margföldun byggist á að kenna mikinn fjölda af sérhæfðum aðferðum, það er kenna sér margföldun með hverri tölu frá 2 upp í 19. Einfaldasta aðferðin er sú með 11 og við byrjum á að sýna hana:

Þegar tala er margfölduð með 11 skal gera þetta: Dæmi:

8423 * 11
1. Aftasti stafur tölunnar er aftasti stafur svarsins ....3
Næst aftasti stafur svarsins fæst með því að leggja saman næst aftasta og aftasta staf tölunnar ...53

(því 2+3 =5)
Þriðji aftasti stafur svarins fæst með því að leggja saman þriðja aftasta og næst aftasta staf tölunnar ..653

(því 4+2 = 6)
Svona er haldið áfram fram eftir tölunni en þegar summan verður stærri en 9 er aftari stafur útkomunnar skrifaður en sá fremri geymdur ...2653

(og 1 geymdur því 8+4 = 12)
Geymdum stöfum er síðan bætt við í næsta skrefi
Loks er fremsti stafur tölunnar fremsti stafur svarsins (að viðbættum geymdum) 92653

(8+1 geymdur = 9)

Margföldun með 12, 13 og upp í 19 eru allt tilbrigði við þessa aðferð við að margfalda með 11. Margföldun með eins stafs tölum í Trachtenberg-kerfinu er heldur flóknari og ábyggilega ekki þægilegri þegar blað og blýantur er við höndina. Þessar aðferðir hafa hins vegar þann kost að hægt er að skrifa svarið beint niður án þess að skrifa nokkra milliútreikninga. Þar af leiðandi getur hún verið hentugri til hugarreikings.

Aðferð Trachtenbergs við samlagningu er í raun það lík hinni venjulegu aðferð að það tekur því tæplegast að sýna hana. Helsti munurinn er sá að Trachtenberg reiknar frá vinstri til hægri og þarf því að setja smá tilbrigði við hvernig hann fer að því að geyma. Kosturinn við Trachtenberg-aðferðina er hins vegar sá að þar er kennd einföld aðferð við að athuga hvort að útkoma í samlagningu sé rétt. Þessi aðferð á hins vegar jafnvel heima í venjulegri samlagningu og verður hér sýnt dæmi um hana.

Athuga á hvort samlagningin

5 1 7 2 4

+ 6 5 1 7

---------------

5 8 2 4 1

sé rétt.

Þá eru tölustafirnir fyrir ofan strikið lagðir saman en alltaf þegar 9 kemur er henni hent og alltaf þegar kemur tveggja stafa tala eru tölustafirnir í henni lagðir saman.

Sem sagt: 5 + 1 = 6; 6 + 7 = 13; 13 er tveggja stafa svo 1 + 3 = 4; 4 + 2 = 6; 6 + 4 = 10; 10 tveggja stafa svo 1 + 0 = 1; og áfram í seinni línuna; 1 + 6 = 7; 7 + 5 = 12; 12 er tveggja stafa svo 1 + 2 = 3; 3 + 1 = 4; 4 + 7 = 11; 11 er tveggja stafa svo 1 + 1 = 2. Útkoman úr þessum reikningum fyrir ofan strik er 2.

Fyrir neðan strik gerum við eins: 5 + 8 = 13; 13 tveggja stafa svo 1 + 3 = 4; 4 + 2 = 6; 6 + 4 = 10; 10 tveggja stafa svo 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 2. Útkoman fyrir neðan strik er líka 2. Alltaf þegar rétt er reiknað er þessi útkoma fyrir ofan og neðan strik sú sama. (Að vísu getur útkoman úr þessu orðið sú sama þótt rangt sé reiknað en það er afar ólíklegt.)

Síðan heldur Trachtenberg áfram og kennir frádrátt, margföldun tveggja talna með mörgum stöfum, deilingu og nokkrar sérhæfðar reglur, svo sem um að hefja tölur í annað veldi. Líklega eru þessar reglur þannig að sá sem tileinkar sér þær getur náð miklum hraða í reikningi en ýmsar þeirra eru þó all-framandi. Þess vegna gæti orðið erfitt fyrir kennara að tileinka sér Trachtenberg-reglurnar það vel að þeir geti kennt þær af nauðsynlegu öryggi.

Þegar allt kemur til alls virðist því skynsamlegast að halda sig við hefðbundnar aðferðir en gott væri ef greiður aðgangur væri að aðferðum Trachtenbergs fyrir þá sem hefðu gagn og gaman af þeim.

Heimild:

Michael Schröder, 1963. Hraðreikningur. Reykjavík: Prentsmiðjan Leiftur. Jón R. Kjartansson þýddi.

Höfundur

Stefán Ingi Valdimarsson

sérfræðingur á Stærðfræðistofu Raunvísindastofnunar Háskóla Íslands

Útgáfudagur

2.8.2000

Spyrjandi

Jóhanna Kristín Gísladóttir

Efnisorð

Tilvísun

Stefán Ingi Valdimarsson. „Er auðveldara að læra stærðfræði með venjulegri aðferð en með Trachtenberg-aðferðinni?“ Vísindavefurinn, 2. ágúst 2000, sótt 21. nóvember 2024, https://visindavefur.is/svar.php?id=716.

Stefán Ingi Valdimarsson. (2000, 2. ágúst). Er auðveldara að læra stærðfræði með venjulegri aðferð en með Trachtenberg-aðferðinni? Vísindavefurinn. https://visindavefur.is/svar.php?id=716

Stefán Ingi Valdimarsson. „Er auðveldara að læra stærðfræði með venjulegri aðferð en með Trachtenberg-aðferðinni?“ Vísindavefurinn. 2. ágú. 2000. Vefsíða. 21. nóv. 2024. <https://visindavefur.is/svar.php?id=716>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki

Senda grein til vinar

=

Er auðveldara að læra stærðfræði með venjulegri aðferð en með Trachtenberg-aðferðinni?
Þessari spurningu er erfitt að svara afdráttarlaust. Áhangendur Trachtenberg-kerfisins halda því fram að þeirra kerfi sé einfaldara og auðlærðara. Máli sínu til stuðnings nefna þeir sögur af því hvernig Trachtenberg-kerfið hefur bylt árangri krakka sem hafa ekki haft neinn áhuga á reikningi. Ekki er þó víst að þetta sanni mál þeirra. Hin hefðbundna reikningsaðferð og aðferð Trachtenbergs eru mjög ólíkar og þess vegna er líklegt að ýmsum sem hentar illa hefðbundna aðferðin gangi vel með hinni aðferðinni. En jafn hugsanlegt er að sumum sem gangi illa með aðferð Trachtenbergs henti vel hin hefðbundna aðferð. Til þess að skera úr þessu þyrfti að gera rannsókn á hópi fólks sem hefur frá upphafi lært aðferð Trachtenbergs, finna nokkra úr þeim hópi sem gengur illa að tileinka sér hana og athuga hvort hefðbundna aðferð hentar þeim betur. Eftir því sem næst verður komist hefur slík rannsókn ekki verið gerð. Líklegt verður því að teljast að þessar aðferðir geti stutt hvor aðra og að æskilegt væri að þær væru báðar þekktar.

Í svarinu er hluta af aðferðum Trachtenberg-reiknings lýst eins og þær eru kynntar í bókinni Hraðreikningur eftir Michael Schröder.

Aðferð Trachtenbergs til að kenna margföldun byggist á að kenna mikinn fjölda af sérhæfðum aðferðum, það er kenna sér margföldun með hverri tölu frá 2 upp í 19. Einfaldasta aðferðin er sú með 11 og við byrjum á að sýna hana:

Þegar tala er margfölduð með 11 skal gera þetta: Dæmi:

8423 * 11
1. Aftasti stafur tölunnar er aftasti stafur svarsins ....3
Næst aftasti stafur svarsins fæst með því að leggja saman næst aftasta og aftasta staf tölunnar ...53

(því 2+3 =5)
Þriðji aftasti stafur svarins fæst með því að leggja saman þriðja aftasta og næst aftasta staf tölunnar ..653

(því 4+2 = 6)
Svona er haldið áfram fram eftir tölunni en þegar summan verður stærri en 9 er aftari stafur útkomunnar skrifaður en sá fremri geymdur ...2653

(og 1 geymdur því 8+4 = 12)
Geymdum stöfum er síðan bætt við í næsta skrefi
Loks er fremsti stafur tölunnar fremsti stafur svarsins (að viðbættum geymdum) 92653

(8+1 geymdur = 9)

Margföldun með 12, 13 og upp í 19 eru allt tilbrigði við þessa aðferð við að margfalda með 11. Margföldun með eins stafs tölum í Trachtenberg-kerfinu er heldur flóknari og ábyggilega ekki þægilegri þegar blað og blýantur er við höndina. Þessar aðferðir hafa hins vegar þann kost að hægt er að skrifa svarið beint niður án þess að skrifa nokkra milliútreikninga. Þar af leiðandi getur hún verið hentugri til hugarreikings.

Aðferð Trachtenbergs við samlagningu er í raun það lík hinni venjulegu aðferð að það tekur því tæplegast að sýna hana. Helsti munurinn er sá að Trachtenberg reiknar frá vinstri til hægri og þarf því að setja smá tilbrigði við hvernig hann fer að því að geyma. Kosturinn við Trachtenberg-aðferðina er hins vegar sá að þar er kennd einföld aðferð við að athuga hvort að útkoma í samlagningu sé rétt. Þessi aðferð á hins vegar jafnvel heima í venjulegri samlagningu og verður hér sýnt dæmi um hana.

Athuga á hvort samlagningin

5 1 7 2 4

+ 6 5 1 7

---------------

5 8 2 4 1

sé rétt.

Þá eru tölustafirnir fyrir ofan strikið lagðir saman en alltaf þegar 9 kemur er henni hent og alltaf þegar kemur tveggja stafa tala eru tölustafirnir í henni lagðir saman.

Sem sagt: 5 + 1 = 6; 6 + 7 = 13; 13 er tveggja stafa svo 1 + 3 = 4; 4 + 2 = 6; 6 + 4 = 10; 10 tveggja stafa svo 1 + 0 = 1; og áfram í seinni línuna; 1 + 6 = 7; 7 + 5 = 12; 12 er tveggja stafa svo 1 + 2 = 3; 3 + 1 = 4; 4 + 7 = 11; 11 er tveggja stafa svo 1 + 1 = 2. Útkoman úr þessum reikningum fyrir ofan strik er 2.

Fyrir neðan strik gerum við eins: 5 + 8 = 13; 13 tveggja stafa svo 1 + 3 = 4; 4 + 2 = 6; 6 + 4 = 10; 10 tveggja stafa svo 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 2. Útkoman fyrir neðan strik er líka 2. Alltaf þegar rétt er reiknað er þessi útkoma fyrir ofan og neðan strik sú sama. (Að vísu getur útkoman úr þessu orðið sú sama þótt rangt sé reiknað en það er afar ólíklegt.)

Síðan heldur Trachtenberg áfram og kennir frádrátt, margföldun tveggja talna með mörgum stöfum, deilingu og nokkrar sérhæfðar reglur, svo sem um að hefja tölur í annað veldi. Líklega eru þessar reglur þannig að sá sem tileinkar sér þær getur náð miklum hraða í reikningi en ýmsar þeirra eru þó all-framandi. Þess vegna gæti orðið erfitt fyrir kennara að tileinka sér Trachtenberg-reglurnar það vel að þeir geti kennt þær af nauðsynlegu öryggi.

Þegar allt kemur til alls virðist því skynsamlegast að halda sig við hefðbundnar aðferðir en gott væri ef greiður aðgangur væri að aðferðum Trachtenbergs fyrir þá sem hefðu gagn og gaman af þeim.

Heimild:

Michael Schröder, 1963. Hraðreikningur. Reykjavík: Prentsmiðjan Leiftur. Jón R. Kjartansson þýddi....