Af hverju eru 4x4+4x4+4-4x4 = 20 en ekki 320?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Af hverju eru 4x4+4x4+4-4x4 = 20 en ekki 320?
Spurningin í fullri lengd hljóðaði svona:

Margir segja að svarið við reikningsdæminu 4x4+4x4+4-4x4 sé 320 þegar það er 20. Getið þið skýrt ástæðuna og leyst þennan ágreining?

Hverju sinni sem verkefni í stærðfræði er sett fram með táknmáli hennar gilda ákveðnar reglur um hvernig beri að lesa úr því. Í verkefninu sem um er spurt, \[4 \times 4 + 4 \times 4 + 4 - 4 \times 4,\] koma þrjár reikniaðgerðir fyrir (samlagning, margföldun og frádráttur) og til að leysa það þarf að vera ljóst í hvaða röð á að beita þessum aðgerðum. Sú venja hefur þróast að grunnreikniaðgerðum stærðfræðinnar skuli beitt í eftirfarandi röð, sem oft er talað um sem röð aðgerða eða forgangsröð aðgerða:

1. Fyrst eru öll veldi reiknuð.
2. Næst er margföldun og deilingu beitt frá vinstri til hægri. Með öðrum orðum er fyrst beitt þeirri margföldun eða deilingu sem er lengst til vinstri og svo koll af kolli.
3. Loks er samlagningu og frádrætti beitt á sama hátt frá vinstri til hægri.

Ef tekið er einfalt dæmi, þá er stærðin $16-36/3^2\times2+3$ reiknuð á eftirfarandi hátt:

$$\begin{gather} & 16-36/3^2\times2+3 \\ =& 16-36/9\times2+3 \\ =& 16-4\times2+3 \\ =& 16-8+3 \\ =& 8+3 \\ =& 11. \end{gather}$$ Ýmsir velta örugglega fyrir sér hvers vegna ákveðið hefur verið að beita reikniaðgerðunum í þessari röð og þeim er bent á svar Einars Axels Helgasonar við spurningunni Af hverju er margföldun framkvæmd á undan samlagningu?

Komum nú aftur að verkefninu sem spurt var um:

\[4 \times 4 + 4 \times 4 + 4 - 4 \times 4.\] Samkvæmt röð aðgerða á fyrst að beita margfölduninni frá vinstri til hægri og síðan er samlagningunni og frádrættinum beitt á sama hátt. Þannig fæst:

$$\begin{gather} &4 \times 4 + 4 \times 4 + 4 - 4 \times 4 \\ =& 16 + 4 \times 4 + 4 - 4 \times 4\\ =& 16 + 16 + 4 - 4 \times 4\\ =& 16 + 16 + 4 - 16\\ =& 32 + 4 - 16\\ =& 36 - 16\\ =& 20. \end{gather}$$ Tekið skal fram að þessir reikningar eru óþarflega ítarlegir, enda er þar aðeins framkvæmd ein aðgerð í einu. Hægt er að sleppa sífellt fleiri skrefum eftir því sem skilningurinn á röð aðgerða og leiknin eykst.

Ranga svarið við þessu verkefni, sem spyrjandi vísar til, fæst með því að sniðganga röð aðgerða. Þá er engri tegund aðgerðar gefinn forgangur fram yfir aðrar, heldur er aðgerðunum einfaldlega beitt hverri á eftir annarri frá vinstri til hægri. Ef verkefnið að ofan er leyst með þessari hugsun, þá er fyrst framkvæmd margföldunin lengst til vinstri, síðan samlagningin næst lengst til vinstri, og svo koll af kolli:

$$\begin{split} & 4 &\times& \;\,4 &\,+& \;\,4 &\times& \;\,4 &\,+& \;\, 4 &\,-& \;\, 4 &\times& \;\;\, 4& \\ =& && 16 &\,+& \;\, 4 &\times& \;\, 4 &\,+& \;\, 4 &\,-& \;\, 4 &\times& \;\;\, 4\\ =& &&&& 20 &\times& \;\, 4 &\,+& \;\, 4 &\,-& \;\, 4 &\times& \;\;\, 4 \\ =& &&&&&& 80 &\,+& \;\, 4 &\,-& \;\, 4 &\times& \;\;\, 4 \\ =& &&&&&&&& 84 &\,-& \;\, 4 &\times& \;\;\, 4 \\ =& &&&&&&&&&& 80 &\times& \;\;\, 4 \\ =& &&&&&&&&&&&& 320. \end{split}$$ Þessir reikningar eru auðvitað ekki réttir, enda er hér ekki verið að lesa úr táknmálinu eins og stærðfræðingar hafa sæst á að það skuli gert.

---

Þetta svar var upprunalega skrifað árið 2011, þegar höfundur var starfsmaður Vísindavefsins.

...