Hverjar eru líkurnar á að hljóta fyrsta vinning í EuroJackpot með 10 valdar aðaltölur og 2 valdar stjörnutölur?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hverjar eru líkurnar á að hljóta fyrsta vinning í EuroJackpot með 10 valdar aðaltölur og 2 valdar stjörnutölur?
EuroJackpot er nýlegur lottóleikur sem hleypt var af stokkunum í mars 2012 og er samstarfsverkefni fjórtán Evrópuþjóða, þar á meðal Íslands. Ein lottóröð í EuroJackpot hefur fimm aðaltölur, sem eru einhverjar af tölunum frá 1 til 50, og tvær svokallaðar stjörnutölur, sem eru einhverjar af tölunum frá 1 til 8.

Alls er hægt að velja fimm tölur frá 1 til 50 á ${50 \choose 5} = 2.118.760$ vegu og hægt er að velja tvær tölur frá 1 til 8 á ${8 \choose 2} = 28$ vegu. Hér tákna ${50 \choose 5}$ og ${8 \choose 2}$ tvíliðustuðla, sem lesa má um í svari sama höfundar við spurningunni Hvað er tvíliðustuðullinn C(n,k) og hvers vegna er fjöldi tvíundastrengja af lengd n með k ása einmitt C(n,k)?

Heildarfjöldi möguleika á að velja lottóröð með fimm aðaltölum og tveimur stjörnutölum er þess vegna

\[2.118.760 \cdot 28 = 59.325.280.\]

Ef keypt er ein röð í EuroJackpot eru líkurnar á að hljóta fyrsta vinning sem sagt 1 á móti 59.325.280, eða 0,0000017 prósent.

Þátttakanda í EuroJackpot býðst að kaupa svokallaðan kerfisseðil, þar sem hann velur 6 til 10 aðaltölur og 2 stjörnutölur. Þá kaupir þátttakandinn í raun allar lottóraðir þar sem aðaltölurnar eru einhverjar fimm af þeim 6 til 10 sem hann hefur valið. Ef til dæmis er keyptur kerfisseðill með sex aðaltölum; segjum 1, 2, 3, 4, 5 og 6; og tveimur stjörnutölum; segjum 7 og 8; þá er verið að kaupa eftirfarandi raðir:

Ef keyptur er kerfisseðill með 10 aðaltölum, eins og spyrjandi gerir ráð fyrir, þá eru keyptar allar ${10 \choose 5} = 252$ lottóraðirnar sem hægt er að mynda með því að nota einhverjar fimm tölur af þessum tíu sem aðaltölur. Í eftirfarandi töflu má sjá hversu margar raðir standa að baki hverjum og einum kerfisseðli:

Gerð kerfisseðils	Fjöldi lottóraða sem keyptar eru
$6$ aðaltölur	$\displaystyle {6 \choose 5} = 6$
$7$ aðaltölur	$\displaystyle {7 \choose 5} = 21$
$8$ aðaltölur	$\displaystyle {8 \choose 5} = 56$
$9$ aðaltölur	$\displaystyle {9 \choose 5} = 126$
$10$ aðaltölur	$\displaystyle {10 \choose 5} = 252$

Eins og áður hefur komið fram er alls hægt að mynda 59.325.820 lottóraðir í EuroJackpot og þær eru allar jafn líklegar til að koma upp úr drættinum. Líkindi þess að hljóta fyrsta vinning eru því einungis háð því hversu margar lottóraðir eru keyptar. Ef keyptur er kerfisseðill með 10 aðaltölum eru líkurnar á fyrsta vinningi sem sagt 252 á móti 59.325.280, sem eru nákvæmlega sömu líkur og fást ef keyptar eru 252 raðir af handahófi. Í eftirfarandi töflu má sjá líkurnar á fyrsta vinningi fyrir hverja gerð kerfisseðils:

Gerð kerfisseðils	Líkur (hlutfall)	Líkur (prósent)
$6$ aðaltölur	$6$ á móti $59.325.280$	$0,\!000010\%$
$7$ aðaltölur	$21$ á móti $59.325.280$	$0,\!000035\%$
$8$ aðaltölur	$56$ á móti $59.325.280$	$0,\!000094\%$
$9$ aðaltölur	$126$ á móti $59.325.280$	$0,\!00021\%$
$10$ aðaltölur	$252$ á móti $59.325.280$	$0,\!00042\%$

Heimildir:

• Umfjöllun um EuroJackpot á Wikipedia.
• Umfjöllun um EuroJackpot á vefsíðu Íslenskrar getspár.

Mynd:

• EBG.

Upphaflega spurningin var sem hér segir:

Fyrsti vinningur í Eurojackpot eru 5 aðaltölur réttar af 50 og 2 stjörnutölur réttar af 8. Hverjar eru líkurnar á að vinna með 10 valdar aðaltölur og 2 valdar stjörnutölur samanborið við 5 valdar aðaltölur og 2 stjörnutölur?

...