Hvers vegna er ekki hægt að deila með núlli í stærðfræði?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvers vegna er ekki hægt að deila með núlli í stærðfræði?
Þessari spurningu er hægt að svara á ýmsa vegu, allt eftir því hvaða skilning menn leggja í deilingarhugtakið. Hér verða því gefin þrjú svör við spurningunni, hvert í sínum hluta, þannig að sem flestir geti fengið svar við sitt hæfi.

1. Deiling sem skipting í jafna hópa

Þegar nemendum er fyrst sagt frá deilingu í grunnskóla er henni lýst sem skiptingu í jafna hópa. Að deila tölu $a$ með tölu $b$ er þá skilgreint svona:

Við skiptum $a$ hlutum í hópa, þar sem hver og einn hópur hefur $b$ hluti. Þá er $a/b$ fjöldi hópa sem við fáum.

Ef við deilum til dæmis tölunni $12$ með tölunni $3$ verður útkoman $12/3=4$, því þegar við skiptum tólf hlutum í þriggja hluta hópa, þá verða hóparnir fjórir talsins.

Skoðum nú hvað gerist ef við reynum að deila tölunni $12$ með tölunni $0$. Þá förum við svona að:

Við skiptum $12$ hlutum í hópa, þar sem hver og einn hópur hefur engan hlut. Þá er $12/0$ fjöldi hópa sem við fáum.

Ómögulegt er að skipta $12$ hlutum í hópa á þennan hátt, því ef enginn hlutur er í hverjum hóp, þá er heildarfjöldi hluta í hópunum alltaf $0$, sama hversu margir þeir eru.

2. Deiling skilgreind út frá margföldun

Skilgreiningin á deilingu úr síðustu efnisgrein er þeim takmörkunum háð að hún gildir aðeins um náttúrulegar tölur. Almennt er hægt að skilgreina deilingu með hjálp margföldunar á eftirfarandi hátt:

$a/b = x\;$ þýðir að $\;a = b \cdot x$.

Þessi skilgreining gildir um allar tölur $a$ og $b$, hvort sem þær eru náttúrulegar tölur, heilar tölur, ræðar tölur og svo framvegis.

Skoðum nú hvað gerist ef við reynum að deila $1$ með $0$. Samkvæmt skilgreiningunni úr síðustu efnisgrein þýðir $\;1/0 = x\;$ að

\[1 = 0 \cdot x.\]

Þetta fær augljóslega ekki staðist, því við vitum að um allar tölur $x$ gildir að $0 \cdot x = 0$, og þess vegna getur $0 \cdot x$ ekki verið $1$.

3. Útvíkkuð deiling

Nú höfum við sýnt að ekki sé hægt að deila með núlli ef gengið er út frá því að deiling með núlli hafi sömu eiginleika og venjuleg deiling. Þá spyrja kannski einhverjir: Hvað ef við útvíkkum deilingarhugtakið á þann veg að útkoman úr deilingu þurfi ekki endilega að vera tala? Er þá hægt að deila með núlli?

Einn spyrjenda tók til dæmis eftir því að

\[\frac{1}{0,\!1} = 10, \quad \frac{1}{0,\!001} = 1000, \quad \frac{1}{0,\!00001} = 100000,\]

og svo framvegis. Þessir reikningar sýna að eftir því sem talan í nefnara nálgast $0$ vex útkoman úr deilingunni upp úr öllu valdi. Þess vegna stingur spyrjandi upp á að skilgreina $1/0$ sem jákvæða óendanleikann, það er

\[\frac{1}0 = +\infty.\]

Þessi tilraun til skilgreiningar á $1/0$ virðist eðlileg við fyrstu sýn. Hins vegar er hægt að sanna í eitt skipti fyrir öll að ef við viljum að allar venjulegu reiknireglurnar okkar gildi áfram, þá sé engin leið að skilgreina $1/0$, sama hvernig það er reynt. Sönnunin felst í því að athuga að ef við gerum ráð fyrir að hægt sé að deila $1$ með $0$ gefur það eftirfarandi niðurstöðu:

\[1 = \frac10 \cdot 0 = \frac10 \cdot (2 \cdot 0) = 2 \cdot \left(\frac10 \cdot 0\right) = 2 \cdot 1 = 2.\]

Við sjáum þá að jafnvel þótt deilingarhugtakið sé útvíkkað eins og lýst var að ofan, þá er samt ekki hægt að gefa deilingu með núlli neina skynsamlega merkingu.

Hér var eftirfarandi spurningum svarað:

• Af hverju er ekki hægt að deila með núlli? Deiling er bara í stuttu máli að skipta tölu upp í x marga hluta. En af hverju er ekki hægt að skipta tölu í enga hluta? (Þröstur L. Stefánsson)

• Hvað er svarið við stærðfræðidæminu 1/0? Eða er þetta stærðfræðilega gallað? (Hannes Leifsson)

• 5/1 = 5; 5/0,1 = 50; 5/0,0000001 = 50.000.000; því minni sem talan sem við deilum með er því stærri verður útkoman, er þá ekki hægt að segja að 5/0 sé í raun plús óendanlegt? (Jörundur Jörundsson)

...