Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
LeiðbeiningarTil baka

Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=
Forsíða Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði Getið þið útskýrt reglu Rolles og meðalgildissetninguna?

Flokkun:

5.8.2008
Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Getið þið útskýrt reglu Rolles og meðalgildissetninguna?

Vignir Már Lýðsson

Regla Rolles og meðalgildissetningin eru náskyldar, og sú fyrrnefnda er notuð við sönnun þeirrar seinni. Regla Rolles er kennd við franska stærðfræðinginn Michel Rolle (1652-1719; frb. 'roll' eins og í 'holl' og 'troll') en hann sannaði regluna árið 1691 með örsmæðareikningi. Á þessum tíma voru aðferðir í örsmæðareikningi í þróun og fræðimenn deildu um réttmæti þeirra. Rolle var einn þeirra sem gagnrýndi aðferðirnar á þeim forsendum að þær væru ónákvæmar og byggðar á veikum rökum, en síðar skipti hann um skoðun. Rolle er einnig þekktur fyrir framsetningu sína á n-tu rót af tölu sem er enn notuð í dag, n√x.

Ef okkur er gefið fall f á bili [a, b] sem tekur sömu gildi í endapunktum bilsins, þá segir regla Rolle að fallið f taki há- eða lággildi að minnsta kosti í einum punkti á bilinu. Nánar tiltekið gerum við ráð fyrir að fallið f fullnægi eftirfarandi skilyrðum:

  1. Það er samfellt á lokaða bilinu [a, b]

  2. Það er samfellt diffranlegt á opna bilinu ]a, b[

  3. Gildi þess í a og b eru þau sömu, það er f(a) = f(b)

Samkvæmt reglunni er þá til punktur c á bilinu [a, b] þannig að f'(c) = 0. Sönnunin á reglu Rolles byggir á svokallaðri milligildissetningu og er ekki erfið, en það tekur nokkurn tíma að gera grein fyrir öllum hugtökunum sem eru notuð í henni og því förum við ekki í hana hér. Athyglisvert er að regla Rolle er tilvistarsetning; hún segir okkur bara að punkturinn c sé til, en segir ekkert um hvar á bilinu hann gæti verið.

Tökum dæmi um notkun á reglu Rolles: Athugum fallið f(x) = sin(x) á lokaða bilinu [0, π]. Það er samfellt á bilinu, og afleiða þess er kósínusfallið, sem er diffranlegt á tilsvarandi opnu bili ]0,π[. Einnig er sin(0) = sin(π) = 0 svo fallið tekur sömu gildi í endapunktum sínum. Öllum skilyrðum í reglu Rolles er þá fullnægt, og því er til punktur c í [0, π] þannig að f'(c) = 0. Eins og áður sagði er afleiða sínusfallsins kósínus, sem tekur gildið 0 þegar c = π/2 en það er einmitt innan bilsins [0, π] eins og við bjuggumst við.


Ferill sínusfalls á bilinu frá 0 og upp í π. Regla Rolles segir að til sé að minnsta kosti einn snertill við ferilinn með hallatöluna 0, og slíkur snertill er merktur með grænu á myndinni.

Fyrir gefið bil er til fullt af föllum sem uppfylla fyrstu tvö skilyrðin í reglu Rolle, en taka ekki sama gildið í endapunktum þess. Við erum náttúrlega ósátt með að geta ekki notað regluna okkar á þessi föll, en ef f er slíkt fall þá getum við spurt okkur hvort til sé einhver fasti r þannig að fallið

\[g(x):=f(x)+r(x)\]

taki sömu gildi í endapunktum bilsins, svo við getum beitt reglu Rolles á fallið g. Með því að athuga gildi g í endapunktum bilsins og nota smá algebru er einfalt að sjá að slíkt r er til, og þegar við beitum reglu Rolle á þetta nýja fall fæst meðalgildissetningin. Hún segir að ef fall f sem er skilgreint á bili [a, b] fullnægir tveimur fyrstu skilyrðunum í reglu Rolles, þá er til punktur c á bilinu þannig að gildi f '(c) sé jafnt hallatölu línunnar í gegnum endapunkta fallsins. Með öðrum orðum gildir í punktinum c að: \[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] Eflaust er best að skilja þessa reglu ef við tökum hraða bíls sem dæmi. Ímyndum okkur bíl sem er á ferð með hraðanum 100 km/klst og hægir á sér þar til hann stöðvast, þannig að meðalhraði bílsins frá því við byrjuðum að fylgjast með honum og þar til hann stöðvaðist hafi verið 50 km/klst. Þar sem bíllinn var upphaflega á hraðanum 100 km/klst og kláraði ferðalagið í kyrrstöðu, þá liggur fyrir að á einhverju augnabliki var hraði hans nákvæmlega 50 km/klst, eða jafn mikill og meðalhraðinn, en það er einmitt það sem setningin segir okkur. Þetta dæmi má setja fram myndrænt með grafi sem sýnir hvernig færsla bílsins breytist með tíma:



Fjólublái ferillinn á myndinni táknar færslu bílsins, og bláa línan liggur á milli upphafs- og endapunkta ferilsins, en hallatala hennar er jöfn meðalhraða bílsins. Ef við tökum snertil við ferilinn, þá svarar hallatala hans til hraða bílsins á því augnabliki. Meðalgildissetningin segir að á einhverju augnabliki hafi hraði bílsins verið jafn meðalhraðanum, eða að til sé snertill við ferilinn sem er samsíða bláu línunni, og græni snertillinn á myndinni er það einmitt.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Heimildir og myndir:

  • Eggert Briem og Jón Ingólfur Magnússon. Raunfallagreining: Föll af einni raunbreytu. 2001, Háskólaútgáfan.
  • Michel Rolle á Wikipedia, frjálsa alfræðiritinu
  • Gröf: Vignir Már Lýðsson

Höfundur

Vignir Már Lýðsson

háskólanemi

Útgáfudagur

5.8.2008

Spyrjandi

Þorsteinn Magnússon

Efnisorð

Tilvísun

Vignir Már Lýðsson. „Getið þið útskýrt reglu Rolles og meðalgildissetninguna?“ Vísindavefurinn, 5. ágúst 2008, sótt 21. nóvember 2024, https://visindavefur.is/svar.php?id=47964.

Vignir Már Lýðsson. (2008, 5. ágúst). Getið þið útskýrt reglu Rolles og meðalgildissetninguna? Vísindavefurinn. https://visindavefur.is/svar.php?id=47964

Vignir Már Lýðsson. „Getið þið útskýrt reglu Rolles og meðalgildissetninguna?“ Vísindavefurinn. 5. ágú. 2008. Vefsíða. 21. nóv. 2024. <https://visindavefur.is/svar.php?id=47964>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki

Senda grein til vinar

=

Getið þið útskýrt reglu Rolles og meðalgildissetninguna?
Regla Rolles og meðalgildissetningin eru náskyldar, og sú fyrrnefnda er notuð við sönnun þeirrar seinni. Regla Rolles er kennd við franska stærðfræðinginn Michel Rolle (1652-1719; frb. 'roll' eins og í 'holl' og 'troll') en hann sannaði regluna árið 1691 með örsmæðareikningi. Á þessum tíma voru aðferðir í örsmæðareikningi í þróun og fræðimenn deildu um réttmæti þeirra. Rolle var einn þeirra sem gagnrýndi aðferðirnar á þeim forsendum að þær væru ónákvæmar og byggðar á veikum rökum, en síðar skipti hann um skoðun. Rolle er einnig þekktur fyrir framsetningu sína á n-tu rót af tölu sem er enn notuð í dag, n√x.

Ef okkur er gefið fall f á bili [a, b] sem tekur sömu gildi í endapunktum bilsins, þá segir regla Rolle að fallið f taki há- eða lággildi að minnsta kosti í einum punkti á bilinu. Nánar tiltekið gerum við ráð fyrir að fallið f fullnægi eftirfarandi skilyrðum:

  1. Það er samfellt á lokaða bilinu [a, b]

  2. Það er samfellt diffranlegt á opna bilinu ]a, b[

  3. Gildi þess í a og b eru þau sömu, það er f(a) = f(b)

Samkvæmt reglunni er þá til punktur c á bilinu [a, b] þannig að f'(c) = 0. Sönnunin á reglu Rolles byggir á svokallaðri milligildissetningu og er ekki erfið, en það tekur nokkurn tíma að gera grein fyrir öllum hugtökunum sem eru notuð í henni og því förum við ekki í hana hér. Athyglisvert er að regla Rolle er tilvistarsetning; hún segir okkur bara að punkturinn c sé til, en segir ekkert um hvar á bilinu hann gæti verið.

Tökum dæmi um notkun á reglu Rolles: Athugum fallið f(x) = sin(x) á lokaða bilinu [0, π]. Það er samfellt á bilinu, og afleiða þess er kósínusfallið, sem er diffranlegt á tilsvarandi opnu bili ]0,π[. Einnig er sin(0) = sin(π) = 0 svo fallið tekur sömu gildi í endapunktum sínum. Öllum skilyrðum í reglu Rolles er þá fullnægt, og því er til punktur c í [0, π] þannig að f'(c) = 0. Eins og áður sagði er afleiða sínusfallsins kósínus, sem tekur gildið 0 þegar c = π/2 en það er einmitt innan bilsins [0, π] eins og við bjuggumst við.


Ferill sínusfalls á bilinu frá 0 og upp í π. Regla Rolles segir að til sé að minnsta kosti einn snertill við ferilinn með hallatöluna 0, og slíkur snertill er merktur með grænu á myndinni.

Fyrir gefið bil er til fullt af föllum sem uppfylla fyrstu tvö skilyrðin í reglu Rolle, en taka ekki sama gildið í endapunktum þess. Við erum náttúrlega ósátt með að geta ekki notað regluna okkar á þessi föll, en ef f er slíkt fall þá getum við spurt okkur hvort til sé einhver fasti r þannig að fallið

\[g(x):=f(x)+r(x)\]

taki sömu gildi í endapunktum bilsins, svo við getum beitt reglu Rolles á fallið g. Með því að athuga gildi g í endapunktum bilsins og nota smá algebru er einfalt að sjá að slíkt r er til, og þegar við beitum reglu Rolle á þetta nýja fall fæst meðalgildissetningin. Hún segir að ef fall f sem er skilgreint á bili [a, b] fullnægir tveimur fyrstu skilyrðunum í reglu Rolles, þá er til punktur c á bilinu þannig að gildi f '(c) sé jafnt hallatölu línunnar í gegnum endapunkta fallsins. Með öðrum orðum gildir í punktinum c að: \[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] Eflaust er best að skilja þessa reglu ef við tökum hraða bíls sem dæmi. Ímyndum okkur bíl sem er á ferð með hraðanum 100 km/klst og hægir á sér þar til hann stöðvast, þannig að meðalhraði bílsins frá því við byrjuðum að fylgjast með honum og þar til hann stöðvaðist hafi verið 50 km/klst. Þar sem bíllinn var upphaflega á hraðanum 100 km/klst og kláraði ferðalagið í kyrrstöðu, þá liggur fyrir að á einhverju augnabliki var hraði hans nákvæmlega 50 km/klst, eða jafn mikill og meðalhraðinn, en það er einmitt það sem setningin segir okkur. Þetta dæmi má setja fram myndrænt með grafi sem sýnir hvernig færsla bílsins breytist með tíma:



Fjólublái ferillinn á myndinni táknar færslu bílsins, og bláa línan liggur á milli upphafs- og endapunkta ferilsins, en hallatala hennar er jöfn meðalhraða bílsins. Ef við tökum snertil við ferilinn, þá svarar hallatala hans til hraða bílsins á því augnabliki. Meðalgildissetningin segir að á einhverju augnabliki hafi hraði bílsins verið jafn meðalhraðanum, eða að til sé snertill við ferilinn sem er samsíða bláu línunni, og græni snertillinn á myndinni er það einmitt.

Tengt efni á Vísindavefnum:

Heimildir og myndir:

  • Eggert Briem og Jón Ingólfur Magnússon. Raunfallagreining: Föll af einni raunbreytu. 2001, Háskólaútgáfan.
  • Michel Rolle á Wikipedia, frjálsa alfræðiritinu
  • Gröf: Vignir Már Lýðsson
...