Ef krónu er kastað fjórum sinnum, hvort eru meiri líkur á að fá þorskinn og bergrisann tvisvar hvorn eða fá þorskinn í öll skiptin?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Ef krónu er kastað fjórum sinnum, hvort eru meiri líkur á að fá þorskinn og bergrisann tvisvar hvorn eða fá þorskinn í öll skiptin?
Eitt krónukast hefur tvær mögulegar útkomur: Annars vegar getur þorskurinn (Þ) komið upp og hins vegar bergrisinn (B). Þegar krónu er kastað fjórum sinnum eru þess vegna $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ mögulegar útkomur. Þær eru:

ÞÞÞÞ

BÞÞÞ

ÞBÞÞ

ÞÞBÞ

ÞÞÞB

BBÞÞ

BÞBÞ

BÞÞB

ÞBBÞ

ÞBÞB

ÞÞBB

BBBÞ

BBÞB

BÞBB

ÞBBB

BBBB

Hér táknar útkoman „ÞÞÞÞ“ að þorskurinn komi upp í öllum fjórum köstunum, „BÞÞÞ“ táknar að bergrisinn komi upp í fyrsta kastinu og þorskurinn í hinum þremur, og svo framvegis. Allar útkomurnar í töflunni hafa sömu líkur.

Bergrisinn eða þorskurinn?

Með þessar upplýsingar að vopni er einfalt mál að reikna líkurnar á að tiltekinn atburður gerist þegar krónu er kastað fjórum sinnum. Við byrjum á því að finna allar útkomur sem tilheyra atburðinum. Þar sem sérhver útkoma hefur sömu líkur getum við síðan reiknað líkurnar á að atburðurinn gerist með því að deila fjölda útkoma sem tilheyra honum með heildarfjölda mögulegra útkoma. Með öðrum orðum gildir:

\[\text{Líkur á atburði} = \frac{\text{Fjöldi útkoma sem tilheyra honum}}{\text{Heildarfjöldi mögulegra útkoma}}\]

En við vitum að heildarfjöldi mögulegra útkoma er $16$, svo formúluna má einnig skrifa svona:

\[\text{Líkur á atburði} = \frac{\text{Fjöldi útkoma sem tilheyra honum}}{16}\]

Nú getum við reiknað líkurnar á atburðunum tveimur sem spurt var um. Aðeins ein útkoma tilheyrir atburðinum að fá þorskinn í öll skiptin, og það er „ÞÞÞÞ“, svo líkurnar á að hann gerist eru einfaldlega 1/16. Hins vegar tilheyra sex útkomur atburðinum að fá þorskinn tvisvar og bergrisann tvisvar, og þær eru „BBÞÞ“, „BÞBÞ“, „BÞÞB“, „ÞBBÞ“, „ÞBÞB“ og „ÞÞBB“. Líkurnar á að þessi atburður gerist eru þá 6/16 eða 37,5%. Þess vegna er sexfalt líklegra að fá þorskinn tvisvar og bergrisann tvisvar en að fá þorskinn í öll skiptin.

Við getum einnig reiknað líkurnar á fleiri atburðum með sama hætti. Til dæmis tilheyra fjórar útkomur atburðinum að þorskurinn komi þrisvar upp og bergrisinn einu sinni, og þær eru „BÞÞÞ“, „ÞBÞÞ“, „ÞÞBÞ“ og „ÞÞÞB“. Þess vegna eru 4/16 eða 25% líkur á að hann gerist. Ellefu útkomur tilheyra atburðinum að bergrisinn komi að minnsta kosti tvisvar upp, og þær eru „BBÞÞ“, „BÞBÞ“, „BÞÞB“, „ÞBBÞ“, „ÞBÞB“, „ÞÞBB“, „BBBÞ“, „BBÞB“, „BÞBB“, „ÞBBB“ og „BBBB“. Líkurnar á þessum atburði eru þess vegna 11/16 eða 68,75%.

Mynd:

• Seðlabankinn: Seðlar og mynt. Sótt 18.7.2011.

...