Af hverju margföldum við stundum í kross þegar við leysum jöfnur með brotum í stað þess að finna samnefnara og lengja með honum?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Af hverju margföldum við stundum í kross þegar við leysum jöfnur með brotum í stað þess að finna samnefnara og lengja með honum?
Fyrst er rétt að gera grein fyrir tveimur hugtökum sem koma fyrir í spurningunni:

• Samnefnari tveggja eða fleiri brota er tala sem allir nefnarar brotanna ganga upp í. Ef við höfum til dæmis brotin $\frac7{9}$ og $\frac5{12}$, þá er talan $36$ samnefnari þeirra, því báðir nefnararnir $9$ og $12$ ganga upp í hana. Einnig eru $108$ og $540$ samnefnarar brotanna, því $9$ og $12$ ganga upp í báðar þessar tölur.
• Að lengja jöfnu með tiltekinni tölu felst í því að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með þessari tölu.

Almenna aðferðin sem nemendum í grunn- og framhaldsskóla er kennd til að leysa jöfnur með brotum byggir á þessum tveimur hugtökum. Hún felst í því, eins og spyrjandi segir frá, að finna fyrst samnefnara allra brotanna í jöfnunni og lengja síðan jöfnuna með honum. Þessi aðferð er kennd bæði vegna þess að auðvelt er að skilja hugsunina bak við hana og vegna þess að hana má alltaf nota til að leysa jöfnur með brotum, sama hvernig þær eru.

Skoðum nú eina ákveðna gerð af jöfnum með brotum, sem er þannig að einungis eitt brot er í hvorri hlið jöfnunnar og ekkert annað en það. Með öðrum orðum erum við að skoða jöfnur á þessu formi:

\[\frac{a}b = \frac{c}d.\]

Ef við notum almennu aðferðina, sem lýst var hér að ofan, til að leysa þessa jöfnu, þá finnum við fyrst samnefnara brotanna tveggja í jöfnunni og lengjum hana síðan með honum. Einn augljós samnefnari brotanna er talan $b \cdot d$, því nefnararnir $b$ og $d$ ganga greinilega báðir upp í hana. Lengjum þá jöfnuna með $b \cdot d$:

\[b \cdot d \cdot \frac{a}b = b \cdot d \cdot \frac{c}d.\]

Nú getum við stytt $b$ út í vinstri hlið jöfnunnar og $d$ út í hægri hliðinni. Einnig getum við víxlað á $a$ og $d$ í vinstri hliðinni, því ekki skiptir máli í hvaða röð tvær tölur eru margfaldaðar saman. Þannig fæst:

\[a \cdot d = b \cdot c.\]

Hægt er að taka eftir ákveðinni reglu sem kemur fram í útreikningunum að ofan. Skoðum aðeins aftur jöfnuna sem við byrjuðum með:

\[\frac{a}b = \frac{c}d,\]

og jöfnuna sem við fengum út í lokin:

\[a \cdot d = b \cdot c.\]

Við getum hugsað okkur að seinni jafnan fáist með því að margfalda nefnarann í hvorri hlið fyrri jöfnunnar með teljaranum í hinni hliðinni, eða með því að margfalda nefnarana „í kross“. Þetta má sjá fyrir sér myndrænt á eftirfarandi hátt:

Þetta er reikniregla sem við köllum margföldun í kross. Hana getum við notað til að sleppa milliskrefinu í útreikningunum úr síðustu efnisgrein og fara þannig beint úr jöfnunni sem við byrjuðum með yfir í jöfnuna sem við fengum út í lokin.

Tína má til ýmsa kosti við að nota þessa reiknireglu. Í fyrsta lagi styttir hún okkur leið, því hún kemur okkur á leiðarenda í einu færra skrefi en almenna aðferðin til að leysa jöfnur með brotum. Í öðru lagi er afar einfalt að átta sig á því hvernig beita eigi reglunni. Í þriðja lagi er auðvelt að leggja hana á minnið og þar hjálpar myndin mikið til.

Helsti gallinn við að beita margföldun í kross er sá sami og á við um allar reiknireglur: Hún felur það sem er að gerast í raun og veru. Með því að fjarlægja milliskrefið úr útreikningunum sem fást með almennu aðferðinni fjarlægjum við um leið hugsunina bak við það hvernig jafnan er leyst. Við getum orðað þetta þannig að margföldun í kross segi okkur aðeins hvað eigi að gera, en ekki hvers vegna.

Annar galli við margföldun í kross er að hún hefur takmarkað notagildi: Hún á aðeins við þegar verið er að leysa þá ákveðnu gerð af jöfnum sem fjallað var um að ofan. Ef eitthvað annað er í jöfnunni en eitt brot í hvorri hlið, þá er ekki hægt að nota regluna. Segjum til dæmis að við höfum jöfnu sem lítur svona út:

\[\frac{a}b = \frac{c}d + e.\]

Margir nemendur sem kunna margföldun í kross, en skilja ekki takmarkanir hennar, gera þau mistök að beita henni á þessa jöfnu og leysa jöfnuna á eftirfarandi hátt:

\[a \cdot d = b \cdot c + e.\]

Þetta er hins vegar rangt, sem er hægt að sjá með því að leysa jöfnuna með almennu aðferðinni. Þá byrjum við á að lengja jöfnuna með samefnaranum $b \cdot d$:

\[b \cdot d \cdot \frac{a}b = b \cdot d \cdot \left(\frac{c}d + e\right).\]

Síðan margföldum við upp úr sviganum í hægri hlið:

\[b \cdot d \cdot \frac{a}b = b \cdot d \cdot \frac{c}d + b \cdot d \cdot e.\]

Styttum loks út allt sem við getum. Þannig fæst:

\[a \cdot d = b \cdot c + b \cdot d \cdot e.\]

Með því að bera þessa jöfnu saman við jöfnuna sem við fengum með margföldun í kross að ofan sjáum við að reikningarnir þar eru greinilega ekki réttir. Þess vegna er ekki hægt að nota margföldun í kross til að leysa upphaflegu jöfnuna.

Loks má nefna að margföldun í kross sparar í raun og veru ekki það mikla vinnu. Ef almennu aðferðinni er beitt til að leysa jöfnuna $\frac{a}b = \frac{c}d$ þarf vissulega að taka eitt aukaskref, en eftir því sem menn þjálfast í að beita almennu aðferðinni fara þeir að geta framkvæmt þetta skref í huganum, án þess að skrifa það niður. Þá eru þeir í rauninni að beita margföldun í kross, en munurinn er að þeir vita nákvæmlega hvers vegna þeir geta gert það.

...