Er talan 0,9999999.... = 1?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Er talan 0,9999999.... = 1?
Já, það er rétt að óendanlega tugabrotið 0,999999... er jafnt 1. En áður en ég útskýri hvernig á því stendur er rétt að segja nokkur orð um hvað meint er með óendanlegum tugabrotum.

Merkingu endanlegra tugabrota er einfalt að skilja. Tugabrotið 2,7 táknar 2 heilar einingar og 7 tíundu hluta af einingu. Brotið 2,74 táknar 2 heilar einingar og 74 hundruðustu hluta af einingu og brotið 2,743 táknar 2 heilar einingar og 743 þúsundustu hluta af einingu.

Það er auðvelt að skilja hvað átt er við með tíunda hluta af einingu, hundraðasta hluta af einingu eða þúsundasta hluta af einingu. Og þótt við höfum varla reynslu af því að skipta einhverju niður í milljón jafna hluta þá getum við vel gert okkur í hugarlund hvað 2 heilar einingar og 743138 milljónustu hlutar af einingu þýðir. Og hugaraflið gerir okkur fært um að skilja hvað það þýðir almennt að skipta einingu niður í 10ⁿ jafna hluta og þá að skilja hvað tugabrot með n aukastöfum táknar. Þetta dugar hinsvegar ekki til að skilja hvað óendanlegt tugabrot táknar.

Í raunverulegum viðfangsefnum er fullkomin nákvæmni yfirleitt ekki nauðsynleg. Í ákveðnum tilfellum getur til dæmis verið nógu nákvæmt að lýsa flatarmáli hrings sem 3,14 sinnum geisli hans eða radíus í öðru veldi. Í öðrum tilfellum þarf kannski meiri nákvæmni en nógu gott gæti verið að nota 3,14159 sinnum radíus í öðru veldi. Í enn öðrum tilfellum þyrfti ef til vill enn meiri nákvæmni. Rétta reglan er að flatarmálið er π (pí) sinnum geislinn í öðru veldi þar sem π er ákveðin rauntala.

Sérhverri rauntölu a má lýsa sem óendanlegu tugabroti. Með því er átt við að með því að nota aðeins fyrstu n aukastafina í óendanlega tugabrotinu getur nákvæmnin í að nota endanlega tugabrotið í stað tölunnar a sjálfrar orðið eins mikil og við viljum, svo framarlega sem við veljum n nógu stórt.

Lítum nú á töluna a = 1 og óendanlega tugabrotið 0,999999... . Ef við notum aðeins fyrstu tvo aukastafina þá erum við að nota endanlega tugabrotið 0,99. Skekkjan eða ónákvæmnin verður þá mismunurinn á 1 og 0,99, sem er 0,01, það er einn hundraðasti af einingu. Ef við notum aðeins fyrstu sex aukastafina þá verður skekkjan mismunurinn á 1 og 0,999999, sem er 0,000001, það er einn milljónasti af einingu. Ef við notum aðeins fyrstu n aukastafina þá verður skekkjan einn á móti 10ⁿ. Með því að velja n nógu stórt getum við því gert skekkjuna eins litla og við viljum. Samkvæmt ofansögðu þýðir þetta að lýsa má tölunni 1 með óendanlega tugabrotinu 0,999999... .

Að sjálfsögðu má líka lýsa tölunni 1 með óendanlega tugabrotinu 1,000000... . Við höfum því hér dæmi um að sömu rauntölunni megi lýsa með tveim mismunandi óendanlegum tugabrotum. Þótt til séu óendanlega mörg slík dæmi þá má samt segja að þau heyri til undantekninga. En þá er komið inn á aðra þætti óendanleikans, þætti sem ekki er fjallað um hér.

Mynd: HB...