Á hve marga vegu er hægt að velja fimm manna stjórn úr átján manna hópi ef tveir þeirra gefa ekki kost á sér nema báðir séu valdir?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Á hve marga vegu er hægt að velja fimm manna stjórn úr átján manna hópi ef tveir þeirra gefa ekki kost á sér nema báðir séu valdir?
Mennina tvo, sem gefa ekki kost á sér nema báðir séu valdir, skulum við kalla Jón og Hannes. Þá getum við skipt öllum mögulegum stjórnum í tvo flokka:

1. Stjórnir sem hafa hvorki Jón né Hannes.
2. Stjórnir sem hafa bæði Jón og Hannes.

Einfalt mál er að finna fjölda stjórna sem tilheyra hvorum flokki fyrir sig, svo við byrjum á að gera það. Síðan fáum við heildarfjölda mögulegra stjórna með því að leggja þessa tvo fjölda saman.

Tiltekin stjórn úr fyrri flokknum hefur hvorki Jón né Hannes, svo hún er skipuð fimm af hinum sextán mönnunum í hópnum. Þessa fimm menn getum við valið á

\[{16 \choose 5} = \frac{16!}{5! \cdot (16-5)!} = \frac{16!}{5! \cdot 11!} = 4.368\]

vegu, sem þýðir að fjöldi stjórna í fyrri flokknum er 4.368. Hér táknar ${16 \choose 5}$ tvíliðustuðul, sem lesa má um í svari sama höfundar við spurningunni Hvað er tvíliðustuðullinn C(n,k) og hvers vegna er fjöldi tvíundastrengja af lengd n með k ása einmitt C(n,k)?

Gleðin var við völd þegar þessi átta manna stjórn var valin úr fimmtán manna hópi, en það er hægt að gera á 6.435 vegu. Myndin tengist efni svarsins ekki beint.

Tiltekin stjórn úr seinni flokknum er skipuð Jóni, Hannesi og þremur af hinum sextán mönnunum í hópnum. Þessa þrjá menn getum við valið á

\[{16 \choose 3} = \frac{16!}{3! \cdot (16-3)!} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = 560\]

vegu, sem þýðir að fjöldi stjórna í seinni flokknum er 560.

Af síðustu tveimur efnisgreinum leiðir að 4.368 stjórnir eru í fyrri flokknum og 560 stjórnir eru í seinni flokknum. Heildarfjöldi mögulegra stjórna er þá

\[4.368 + 560 = 4.928.\]

Með öðrum orðum er hægt að velja fimm manna stjórn úr átján manna hópi, ef tveir þeirra gefa ekki kost á sér nema báðir séu valdir, á 4.928 vegu.

Mynd:

• http://www.koreanma.com. Sótt 12.10.2011.

...