Hvernig leysir maður jöfnu með þremur óþekktum stærðum?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvernig leysir maður jöfnu með þremur óþekktum stærðum?
Ef við höfum aðeins eina jöfnu með þremur óþekktum stærðum er líklegast að jafnan hafi óendanlega margar lausnir. Sem dæmi um undantekningu frá þessu má nefna jöfnuna

x² + y² + z² = 0

en hún hefur eina og aðeins eina lausn þar sem x, y og z eru rauntölur, það er að segja lausnina x = y = z = 0.

Jafnan

x² + y² + z² = -1

er líka fróðlegt dæmi um undantekningu en hún hefur hreinlega enga rauntölulausn.

Almennt eru engar tilteknar staðlaðar aðferðir til að leysa jöfnur nema þær séu af nánar tilteknum gerðum. Trúlegt er að spyrjandi hafi í huga svokallaðar línulegar jöfnur eða fyrsta stigs jöfnur, en dæmi um slíkt er jafnan

x + 2y + 3z = 4

Svona jafna ein og sér hefur margar lausnir. Til að mynda getum við valið gildin á x og y eins og okkur sýnist og notað síðan jöfnuna til að finna samsvarandi gildi á z þannig að samstæðan (x, y, z) verði lausn á jöfnunni. Til dæmis er (0, 0, 4/3) lausn en líka samstæðan (4, 0, 0) og óendanlega margar aðrar.

Menn hafa staðlaðar aðferðir til að leysa þrjár línulegar jöfnur með þremur óþekktum sem spyrjandi kann líka að hafa í huga. Slíkt jöfnukerfi hefur yfirleitt eina lausn en stundum enga eða óendanlega margar. Lausnaraðferðirnar eru mjög svipaðar þeim sem beitt er við tvær línulegar jöfnur með tveimur óþekktum.

Við kjósum að lýsa hér svokallaðri innsetningaraðferð til að leysa þrjár línulegar jöfnur með þremum óþekktum. Gefum okkur þess konar jöfnur sem hér segir:

x + 2y + 3z = 32

x - 2y + z = 8

y + 2z = 17

Við getum notað síðustu jöfnuna til að táknay við z: y = 17 - 2z. Setjum það inn í hinar jöfnurnar og fáum

x + 2(17-2z) + 3z = x - z + 34 = 32

x - 2(17-2z) + z = x + 5z - 34 = 8

eða

x - z = -2

x + 5z = 42

Til að halda okkur við innsetningaraðferðina út í gegn setjum við x = z - 2 úr fyrri jöfnunni inn í þá síðari og fáum

z - 2 + 5z = 42, 6z = 44, z = 22/3 = 7 1/3

Síðan finnum við x og y beint úr fyrri jöfnum:

x = z - 2 = 5 1/3 = 16/3

y = 17 - 2z = 2 1/3 = 7/3

Þannig höfum við komist að því að samstæðan

(x, y, z) = (16/3, 7/3, 22/3)

er lausn á jöfnunum. Ef við viljum vera viss um að við höfum reiknað rétt, getum við sett þessar tölur inn fyrir (x,y,z) í jöfnurnar og sannfært okkur um að allt kemur heim.

Allir útreikningar okkar hafa verið einræðir sem kallað er, en það

þýðir meðal annars að hægt er að reikna bæði aftur á bak og áfram og lausnin er einrætt ákvörðuð; þetta er eina lausnin á þessum þremur jöfnum. Slíkt er ekki sjálfgefið því að það getur komið fyrir að jöfnurnar séu línulega háðar sem kallað er og þá hafa þær ýmist enga lausn eða óendanlega margar lausnir.

Innsetningaraðferðin er engan veginn eina aðferðin sem hægt er

að nota til að finna lausn á jöfnunum. Til dæmis er hægt að eyða

einni breytu úr tveimur jöfnum í einu með því að margfalda hvora um sig með heppilegri tölu og leggja jöfnurnar svo saman.

Þannig fást fyrst tvær jöfnur með tveimur óþekktum og síðan ein jafna með einni óþekktri stærð, sem er auðleyst. -- Einnig er hægt að beita svokölluðum ákveðum til að fá lausnina fyrir hverja breytu um sig beint úr einni jöfnu eftir nokkra útreikninga. -- Menn sem eru vanir reikningum af þessu tagi beita þessum aðferðum öllum sitt á hvað eftir því sem best hentar við þær jöfnur sem fyrir liggja hverju sinni....