Vísindavefurinn: Rakarinn í Þorlákshöfn rakar alla sem raka sig ekki sjálfir. Rakar hann sjálfan sig?

Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

Hlusta

Þessi margumtalaði rakari virðist víðförull mjög og er ýmist sagður búa í Sevilla, á Sikiley, nú, eða í Þorlákshöfn. Eins og útskýrt verður hér að neðan er reyndar óhugsandi að þessi maður sé til eða hafi nokkurn tíma verið til.

Þverstæðan um rakarann er svona:

Rakarinn í þorpinu rakar alla (og aðeins þá) þorpsbúa sem ekki raka sig sjálfir. Hann býr sjálfur í þorpinu.

Nú er spurt: Rakar rakarinn sjálfan sig?

Svarið já leiðir til neitunar. Ef rakarinn rakar sjálfan sig er hann einn af þeim þorpsbúum sem raka sig sjálfir og því ekki einn af þeim sem rakarinn rakar. Þar af leiðandi rakar hann ekki sjálfan sig.
Ef svarið er nei rakar rakarinn sig ekki sjálfur og hlýtur því að láta rakarann sjá um raksturinn; þar af leiðandi rakar hann sjálfan sig.

Forsendan sem gefin var í byrjun, það er að rakarinn raki nákvæmlega þá þorpsbúa sem ekki raka sjálfa sig, leiðir því til mótsagnar. Í slíkum tilfellum þykir rétt að hafna viðkomandi forsendu; rakarinn sem hegðar sér á þann hátt sem um er rætt getur því ekki verið til.

Talað er um þverstæðu þegar niðurstaða sem er augljóslega ósönn, til dæmis vegna þess að hún felur í sér mótsögn, er leidd af forsendum sem virðast sannar. Í þessu tilviki má í raun deila um hvort um þverstæðu sé að ræða. Er endilega víst að forsendurnar (eða forsendan) virðist sannar? Hvers vegna ættum við endilega að búast við að umræddur rakari sé til frekar en til dæmis maður sem getur bitið í hnakkann á sjálfum sér eða sem getur búið til ferhyrndan hring? Bindum við einhverjar vonir við sannleiksgildi forsendunnar?

Hægur vandi er að leiða út mótsögn ef nógu fáránlegar forsendur eru gefnar og ekki er rétt að kalla öll slík dæmi þverstæður. Ekki er um þverstæðu að ræða nema forsendurnar virðist sannar og það virðist jafnvel brjóta í bága við heilbrigða skynsemi að hafna þeim. Sumir halda því þó fram að forsendan sem gefin er í dæminu um rakarann virðist, að minnsta kosti í fljótu bragði, geta verið sönn og því sé hér þverstæða á ferð.

Hvort sem rakaraþverstæðan er tekin alvarlega sem þverstæða eða ekki er hún afbrigði af raunverulegri þverstæðu sem kennd er við Bertrand Russell (1872-1970).

Hugsum okkur að til sé mengi allra mengja sem eru ekki stök í sjálfum sér. (Dæmi um mengi sem er stak í sjálfu sér er mengi mengjanna sem innihalda fleiri en tvö stök. Dæmi um mengi sem er ekki stak í sjálfu sér er mengi allra katta, en það mengi er ekki köttur.) En er fyrrnefnt mengi stak í sjálfu sér? Á sama hátt og við leiddum út mótsögn í rakaradæminu fáum við mótsögn hér. Ef mengið er stak í sjálfu sér þá getur það ekki verið stak í sjálfu sér og öfugt.

Russell uppgötvaði þessa þverstæðu árið 1901 þegar hann var að vinna að bók sinni Principles of Mathematics. Þverstæðan hafði djúp og mikil áhrif á tilraunir rökfræðinga og stærðfræðinga, með Gottlob Frege (1848-1925) fremstan í flokki, til að setja fram rökfræðilegar undirstöður fyrir stærðfræði. Í bók sinni Grundgesetze der Arithmetik hafði Frege gert tilraun til framsetningar á slíkum rökfræðilegum undirstöðum og gerði þar meðal annars ráð fyrir að hægt væri að skilgreina hvaða eiginleika (eða mengi) sem er.

Þverstæða Russells gaf til kynna alvarlegan brest í frumsetningunum sem Frege notaði sem grundvöll fyrir stærðfræðina. Það að grundvöllur stærðfræðinnar skyldi fela í sér mótsögn var auðvitað alvarlegt mál og heldur betur réttnefnd þverstæða. Þótt þverstæðan sé kennd við Russell og það hafi verið hann sem kynnti hana fyrir Frege er talið að aðrir rök- og stærðfræðingar hafi uppgötvað samskonar þverstæður á svipuðum tíma, hver í sínu horni. Í því sambandi eru gjarnan nefndir þeir Cesare Burali-Forti (1861-1931), David Hilbert (1862-1943) og Ernst Zermelo (1871-1953).

Þessi þverstæða átti sinn þátt í því að það verkefni að leggja hreinan, formlegan rökfræðilegan grunn að stærðfræðinni var gefið upp á bátinn nokkrum áratugum síðar þótt ætlun Russells hafi í raun verið að þoka verkefninu áfram. Segja má að vonin um slíkan grunn hafi brostið þegar Kurt Gödel (1906-1978) setti fram ófullkomleikasetningu sína árið 1931. Nú er gert ráð fyrir að til grundvallar stærðfræðinni þurfi einnig að liggja mengjafræðileg hugtök og frumsetningar sem ekki byggjast á hreinni rökfræði.

Heimildir og frekara lesefni:

R.M. Sainsbury (1995), Paradoxes, 2. útg., Cambridge: Cambridge University Press.

Curiouser.co.uk

Internet Encyclopedia of Philosophy

Scientific American

Stanford Encyclopedia of Philosophy

Mynd: The Bertrand Russell Gallery

Senda grein til vinar