Ef þú setur miða með 10 nöfnum í hatt, hverjar eru líkurnar að hver og einn dragi sitt nafn?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Ef þú setur miða með 10 nöfnum í hatt, hverjar eru líkurnar að hver og einn dragi sitt nafn?
Svarið fer eftir því hvort sá sem dregur setur miðann aftur í hattinn þegar hann er búinn að draga eða ekki. Svarið finnst samt á svipaðan hátt í báðum tilvikum. Hér á eftir er gert ráð fyrir að nöfnin séu öll ólík, en ef einhver nafnanna eru þau sömu þá má líka nálgast verkefnið á þann hátt sem lýst er hér á eftir.

Það sem við getum kallað útkomu úr svona tilraun er listi yfir hvaða nafn hver þátttakandi dró. Aðeins ein útkoma er þannig að allir dragi sitt nafn, því að nöfnin eru öll ólík. Hvort sem miðum er skilað aftur í hattinn eftir drátt eða ekki er auðvelt að sjá að sérhverjar tvær útkomur eru jafn líklegar. Líkurnar á því að fá einhverja tiltekna útkomu eru því $$\frac{1}{\text{fjöldi mögulegra útkoma}}$$ Ekki er talið að gerð hattsins hafi áhrif á líkurnar.
Skoðum fyrst hvað gerist ef miðunum er skilað í hattinn eftir drátt. Þá eru tíu möguleikar á hvaða nafn sá fyrsti dregur, svo eru líka tíu möguleikar á nafninu sem sá næsti dregur og svo framvegis. Útkoman úr tilrauninni er listi með tíu nöfnum og tíu nöfn eru möguleg í hvert sæti. Sama nafn getur komið fyrir allt að 10 sinnum. Heildarfjöldi möguleika er

10∙10∙10∙10∙10∙10∙10∙10∙10∙10 = 10.000.000.000 = 10¹⁰

Líkur á að allir fái sitt nafn eru \(\frac{1}{10^{10}}\) eða einn á móti 10 milljörðum sem er jafnt og 0,00000000001.

Skoðum nú hvað gerist ef miðunum er ekki skilað til baka í hattinn. Þá eru 10 möguleikar á hvaða nafn sá fyrsti dregur. Þegar hann hefur dregið eru eftir 9 miðar í hattinum svo að sá næsti getur dregið 9 möguleg nöfn, sá þar á eftir dregur úr 8 nöfnum og svo koll af kolli. Aftur er útkoman úr tilrauninni listi með 10 nöfnum. Í fyrsta sæti koma 10 nöfn til greina, í annað sætið 9 nöfn og svo framvegis. Hvert nafn kemur nú fyrir nákvæmlega einu sinni á listanum. Fjöldi mögulegra lista er

10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 3.628.800

Líkur á að allir dragi sitt nafn eru þá $\frac{1}{3.628.800}$ sem er um það bil jafnt og 0,00000026.

Mynd:

• Wikipedia - Infantry Hardee. Sótt 13. 7. 2011.

...