Ef maður vill bara fá sem hæsta samanlagða summu á teningana í Yatsý, hvernig á maður að fara að?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Ef maður vill bara fá sem hæsta samanlagða summu á teningana í Yatsý, hvernig á maður að fara að?
Í Yatsý eru notaðir fimm teningar. Í hverri umferð fær keppandi þrjú köst og má eftir fyrsta og annað kast halda eftir þeim teningum sem hann vill.

Spurt er hvaða teningum maður eigi að halda eftir ef við viljum bara fá sem hæsta summu á teningana fimm. Eðlilegt er að segja að sú leikaðferð sé best sem gefur hæst meðaltal ef kastað er mörgum sinnum. Þetta meðaltal er í líkindafræði kallað væntigildi. Samkvæmt þessum mælikvarða er besta aðferðin að eftir fyrsta kast höldum við bara eftir þeim fimmum og sexum sem við fengum en eftir annað kastið höldum við eftir fjörkum, fimmum og sexum. Sé þessari aðferð fylgt þá getið þið gert ráð fyrir að fá að meðaltali útkomuna 23,33 en hæsta mögulega útkoma er að sjálfsögðu 5∙6 = 30. Ef þið veljið hinsvegar að halda engum tengingum eftir nema þeim sem þið fáið 6 á þá getið þið gert ráð fyrir að fá að meðaltali 21,3 og ef þið veljið að halda bara eftir bara þeim fimmum og sexum sem koma upp þá yrði meðaltalið 23,06.

Í Yatsý eru notaðir fimm teningar.

Það einfaldar málið mjög ef við tökum eftir að sú leikaðferð sem dugar best ef bara einum tening er kastað hlýtur að vera sú sama og dugar best þegar 5 teningum er kastað. Nú má prófa leikaðferðir með skipulegum tilraunum, eða beita reikningum. Förum stuttlega í gegnum reikningana til að finna meðaltalið ef þeirri leikaðferð er beitt að halda bara eftir sexum, reikningar við aðrar aðferðir eru svo til eins.

Í fyrsta kasti eru líkurnar \(\frac{1}{6}\) að við fáum sexu og \(\frac{5}{6}\) að við fáum eitthvað annað. Ef við fengum ekki sexu þá köstum við aftur og þá eru líkurnar aftur \(\frac{1}{6}\) að við fáum sexu og \(\frac{5}{6}\) að við fáum eitthvað annað. Líkurnar á því að við þurfum að kasta tvisvar til að fá sexu eru því \(\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{5}{36}\). Ef við höfum hvorki fengið sexu í fyrsta né öðru kasti þá eru líkurnar aftur \(\frac{1}{6}\) að við fáum sexu og \(\frac{5}{6}\) að við fáum eitthvað annað þegar við köstum í þriðja sinn. Líkurnar á því að við köstum þrisvar án þess að fá sexu eru \(\frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{125}{216}\). Því eru líkurnar \(\frac{91}{216}\) að við höfum fengið sexu. Ef við fengum ekki sexu þá hafa allar tölurnar 1, 2, 3, 4 og 5 jafnar líkur á að verða loka útkoman, þannig að þá er meðalútkoman 3. Ef tilraunin er endurtekin nógu oft þá ættum við að hafa að jafnaði fengið sexu i \(\frac{125}{216}\) tilvika og eitthvað annað (að meðaltali 3) í \(\frac{91}{216}\) tilvika. Meðaltals útkoman er því \(\frac{91}{216}\cdot 3+\frac{125}{216}\cdot 6=4,26\). Í Yatsý eru notaðir 5 teningar og því verður meðaltals útkoma þegar þessari leikaðferð er fylgt er 5∙4,26=21,3.

Mynd:

• Wikimedia Commons. Sótt 13. 7. 2011.

Þetta svar byggir á athugunum hóps grunnskólanema á námskeiði sem haldið var í samvinnu Raunvísindadeildar Háskóla Íslands, samtakanna Heimilis og skóla, og Fræðslumiðstöðvar Reykjavíkurborgar vegna bráðgerra barna. Í hópnum voru Alexander Freyr Einarsson, Anna Stefánsdóttir, Arnór Ingi Finnbjörnsson, Atli Rúnar Kristinsson, Baldvin Logi Einarsson, Elín Egilsdóttir og Sólrún Halla Einarsdóttir....