Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
LeiðbeiningarTil baka

Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=
Forsíða Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði Hvaða merkingu hefur það í stærðfræði að eitthvað sé ,,lokað undir'' samlagningu og margföldun og svo framvegis?

Flokkun:

31.10.2008
Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvaða merkingu hefur það í stærðfræði að eitthvað sé ,,lokað undir'' samlagningu og margföldun og svo framvegis?

Gunnar Þór Magnússon

Í stærðfræði er mengi sagt vera lokað undir einhverri aðgerð ef útkoman úr aðgerðinni er aftur í menginu. Formlega skilgreiningin er svona: Látum X vera mengi, n vera náttúrlega tölu, og b : Xn → X vera vörpun. Þá segjum við að X sé lokað undir b ef að

b(x1, ..., xn) er í X,

fyrir öll x1, ..., xn í X.

Sem dæmi getum við litið á náttúrlegu tölurnar, en það eru jákvæðu heilu tölurnar ásamt 0. Þær eru lokaðar undir samlagningu, því ef maður leggur saman tvær náttúrlegar tölur fær maður aðra náttúrlega tölu, og þær eru líka lokaðar undir margföldun. Hins vegar eru þær hvorki lokaðar undir frádrætti né deilingu, því til dæmis er 2 - 3 = -1, sem er ekki náttúrleg tala.

Annað dæmi sem má skoða eru ræðu tölurnar, en þær eru lokaðar undir samlagningu, frádrætti, margföldun, og ræðu tölurnar að núlli slepptu eru lokaðar undir margföldun og deilingu. Þær eru hins vegar ekki lokaðar undir aðgerðinni að taka kvaðratrót, því þekkt er að rótin af tveim er ekki ræð tala.

Teningur Rubiks er dæmi um grúpu í daglega lífinu.

Hugtakið að vera lokað undir er mikilvægt í stærðfræði því ef við höfum áhuga á einhverri aðgerð á gefnu mengi, þá viljum við halda okkur innan þess mengis, og því er alveg ótækt að við þurfum að taka tillit til þess hvaða stökum við beitum aðgerðinni á. Ef aðgerðin okkar er tvíundaraðgerð, það er að segja ef hún tekur inn tvö stök og skilar einu, eins og samlagning eða margföldun, þá er það að sýna fram á að mengið okkar er lokað undir aðgerðinni fyrsta skrefið í að sýna að mengið og aðgerðin mynda grúpu.

Grúpur eru einn einfaldasti hluturinn í algebru og þær búa yfir mörgum þægilegum eiginleikum. Það er ágætt að vita að maður hefur grúpu í höndunum, því allir stærðfræðingar hafa unnið með þær og þekkja þær að einhverju leyti.

Annað efni á Vísindavefnum:

Heimildir og mynd:

  • Gallian, Joseph A. Contemporary Abstract Algebra, 6. útgáfa. 2004. Houghton Mifflin Company.
  • Mynd fengin af Flickr síðu Mesq, birt undir Creative Commons 2.0 by-nc skírteini.

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

31.10.2008

Síðast uppfært

20.6.2018

Spyrjandi

Sigurður A. Ólafsson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvaða merkingu hefur það í stærðfræði að eitthvað sé ,,lokað undir'' samlagningu og margföldun og svo framvegis?“ Vísindavefurinn, 31. október 2008, sótt 21. nóvember 2024, https://visindavefur.is/svar.php?id=15221.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 31. október). Hvaða merkingu hefur það í stærðfræði að eitthvað sé ,,lokað undir'' samlagningu og margföldun og svo framvegis? Vísindavefurinn. https://visindavefur.is/svar.php?id=15221

Gunnar Þór Magnússon. „Hvaða merkingu hefur það í stærðfræði að eitthvað sé ,,lokað undir'' samlagningu og margföldun og svo framvegis?“ Vísindavefurinn. 31. okt. 2008. Vefsíða. 21. nóv. 2024. <https://visindavefur.is/svar.php?id=15221>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki

Senda grein til vinar

=

Hvaða merkingu hefur það í stærðfræði að eitthvað sé ,,lokað undir'' samlagningu og margföldun og svo framvegis?
Í stærðfræði er mengi sagt vera lokað undir einhverri aðgerð ef útkoman úr aðgerðinni er aftur í menginu. Formlega skilgreiningin er svona: Látum X vera mengi, n vera náttúrlega tölu, og b : Xn → X vera vörpun. Þá segjum við að X sé lokað undir b ef að

b(x1, ..., xn) er í X,

fyrir öll x1, ..., xn í X.

Sem dæmi getum við litið á náttúrlegu tölurnar, en það eru jákvæðu heilu tölurnar ásamt 0. Þær eru lokaðar undir samlagningu, því ef maður leggur saman tvær náttúrlegar tölur fær maður aðra náttúrlega tölu, og þær eru líka lokaðar undir margföldun. Hins vegar eru þær hvorki lokaðar undir frádrætti né deilingu, því til dæmis er 2 - 3 = -1, sem er ekki náttúrleg tala.

Annað dæmi sem má skoða eru ræðu tölurnar, en þær eru lokaðar undir samlagningu, frádrætti, margföldun, og ræðu tölurnar að núlli slepptu eru lokaðar undir margföldun og deilingu. Þær eru hins vegar ekki lokaðar undir aðgerðinni að taka kvaðratrót, því þekkt er að rótin af tveim er ekki ræð tala.

Teningur Rubiks er dæmi um grúpu í daglega lífinu.

Hugtakið að vera lokað undir er mikilvægt í stærðfræði því ef við höfum áhuga á einhverri aðgerð á gefnu mengi, þá viljum við halda okkur innan þess mengis, og því er alveg ótækt að við þurfum að taka tillit til þess hvaða stökum við beitum aðgerðinni á. Ef aðgerðin okkar er tvíundaraðgerð, það er að segja ef hún tekur inn tvö stök og skilar einu, eins og samlagning eða margföldun, þá er það að sýna fram á að mengið okkar er lokað undir aðgerðinni fyrsta skrefið í að sýna að mengið og aðgerðin mynda grúpu.

Grúpur eru einn einfaldasti hluturinn í algebru og þær búa yfir mörgum þægilegum eiginleikum. Það er ágætt að vita að maður hefur grúpu í höndunum, því allir stærðfræðingar hafa unnið með þær og þekkja þær að einhverju leyti.

Annað efni á Vísindavefnum:

Heimildir og mynd:

  • Gallian, Joseph A. Contemporary Abstract Algebra, 6. útgáfa. 2004. Houghton Mifflin Company.
  • Mynd fengin af Flickr síðu Mesq, birt undir Creative Commons 2.0 by-nc skírteini.
...