Hver eru rökin fyrir því að x í núllta veldi sé alltaf 1, sama hvað x stendur fyrir?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hver eru rökin fyrir því að x í núllta veldi sé alltaf 1, sama hvað x stendur fyrir?
Reglurnar um veldisvísa í algebru eru byggðar upp skref fyrir skref með því að byrja til dæmis á því að skilgreina $x$ í öðru veldi:

$x^2=x\cdot x$

(Lesið: $x$ í öðru veldi er sama sem $x$ sinnum $x$ eða $x$ margfaldað með sjálfu sér)

Fyrir heilar plústölur $n$ skilgreinum við síðan

$x^n=x\cdot...\cdot x$ ($n$ sinnum)

(Lesið: $x$ í $n$-ta veldi er sama sem $x$ margfaldað með sjálfu sér $n$ sinnum)

Þá skoðum við margfeldið $x^n$ sinnum $x^m$:

$x^n\cdot x^m$

$=x\cdot...\cdot x$ ($n$ sinnum)$\cdot x\cdot...\cdot x$ ($m$ sinnum)

$=x\cdot...\cdot x$ ($n+m$ sinnum)

$=x^{n+m}$

Nú viljum við alhæfa þessa jöfnu þannig að hún gildi líka þegar $m=0$. Við fáum þá

$x^n\cdot x^0=x^{n+0}$

Við notum okkur að $n+0=n$:

$x^n\cdot x^0=x^n$

Ef $x$ er ekki $0$ hér má stytta $x^n$ út og við fáum það sem um var spurt:

$x^0=1$

Það er sem sé ekki alveg rétt sem fullyrt er í spurningunni að þetta gildi fyrir öll $x$, heldur gildir það aðeins ef $x$ er ekki $0$. Þegar $x=0$ er $x^0$ óskilgreint, svipað og $\frac{x}{0}$ eða $\frac{0}{0}$ sem margir kannast væntanlega við.

Á þennan hátt er hægt að halda áfram í skrefum og skilgreina til dæmis $x^{-n}$ þegar veldisvísirinn $-n$ er heil mínustala. Þannig fæst á mjög svipaðan hátt að eðlilegt sé að setja

$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

Svo má skilgreina $x^{\frac{n}{m}}$ þegar $n$ og $m$ eru heilar tölur. Veldisvísirinn $\frac{n}{m}$ er þá kallaður almennt brot. Og þannig gætum við haldið áfram.

Þessi fræði eru síðan undirstaða veldisvísisfallsins $e^x$ og lograns (lógaritmans) $log(x)$ eða $ln(x)$. Reglan um að $x^0=1$ endurspeglast til dæmis í því að $log(1) = 0$....