Hvaða aðferðum er beitt til að finna aukastafi pí?

Nafn þitt

Netfang þitt

Netfang móttakanda

Ruslpóstvörn =

Svar

Hvaða aðferðum er beitt til að finna aukastafi pí?
Talan $\pi$, pí, er hlutfallið milli ummáls og þvermáls hrings. Hún er stundum nefnd fasti Arkímedesar. Arkímedes (272–212 f.Kr.) beitti nákvæmum útreikningum til að finna gildi $\pi$. Hann notaði nálgunaraðferð með því að finna ummál reglulegra marghyrninga með æ fleiri hornum þannig að lögun þeirra nálgaðist hring æ meir. Aðferðinni var beitt í yfir 1000 ár.

Arkímedes reiknaði efri og neðri mörk $\pi$ með því að reikna ummál reglulegra sexhyrninga innan í og utan um hring og tvöfalda síðan fjölda hliðanna þar til hliðarnar voru orðnar 96. Arkímedes sýndi fram á að gildi $\pi$ lægi á bili milli tveggja brota: 223/71 < $\pi$ < 22/7. Tugabrot voru þá ekki komin til sögunnar en þetta jafngildir að $\pi$ sé á bilinu 3,1408 < $\pi$ < 3,1429. Þá eru þrír tölustafir réttir. Brotið 22/7 var gjarnan notað í kennslubókum fram að öld vasareikna. Um árið 480 e.Kr. náði kínverski stærðfræðingurinn Zu Chongzhi sjö réttum tölustöfum með 12.288-hliða marghyrningum. Það var nákvæmasta gildið á $\pi$ sem þekkt var næstu 800 árin.

Stærðfræðingar, sem beittu marghyrningaaðferðinni, náðu 39 tölustöfum í $\pi$ árið 1630.^[1] Það er mesta nákvæmni sem náðst hefur með þeirri aðferð, reiknað án reiknivéla. Árið 1699 náðist 71 tölustafur með óendanlegum röðum.

Bylting varð þegar tekið var að nota óendanlegar raðir, bæði liðastærðir og margfeldi. Fyrsta óendanlega röðin sem fundin var í Evrópu var margfeldi. Hana fann franski stærðfræðingurinn François Viète árið 1593:

$${2 \over \pi} = {\sqrt{2}\over 2} \cdot {\sqrt{2 + \sqrt 2} \over 2} \cdot {\sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \sqrt 2}} \over 2} \cdots $$

John Wallis fann aðra óendanlega röð margfelda árið 1655:

$${\pi \over 2} = \left({2\over 1} \cdot {2 \over 3}\right) \cdot \left({4\over 3} \cdot {4 \over 5}\right) \cdot \left({6\over 5} \cdot {6 \over 7}\right) \cdot \left({8\over 7} \cdot {8 \over 9}\right)\cdots$$

Einföld röð af liðastærðum frá um 1674 er kennd við Gregory–Leibniz:

$${\pi} = {4\over 1} - {4 \over 3}+{4\over 5} - {4 \over 7}+{4\over 9} - {4 \over 11}+{4\over 13} -\cdots$$

Gallinn við Gregory–Leibniz-röðina er að samleitni hennar er mjög hæg. Gildi samanlagðra liða liggja til skiptist ofan og neðan við $\pi$. Reikna þarf mjög marga liði til að nálgast betri gildi en með marghyrningaaðferðinni. Indverjinn Nilakantha fann á 15. öld röð sem finnur tölustafi $\pi$ mun hraðar. Upplýsingar bárust þá hægt milli heimshluta.

$${\pi} = 3 + {4\over 2\times3\times4} - {4 \over 4 \times 5 \times 6}+{4\over 6 \times 7 \times 8} - {4 \over 8 \times 9 \times 10}+ \cdots$$

Hraðvirk reiknirit fóru að koma fram árið 1914 þegar indverski stærðfræðingurinn Srinivasa Ramanujan birti tugi af nýjum formúlum fyrir $\pi$. Þær voru aðdáunarverðar fyrir glæsileika, stærðfræðilega dýpt og hraða samleitni. Ein formúla hans er þessi:

$${1 \over \pi} = {2\sqrt{2}\over 9801} \sum _{k=0}^{\infty} {{(4k)!(1103+26390k)} \over {{k!^4(396^{4k})}}} $$

Bylting varð þegar tölvur komu til sögunnar um miðja tuttugustu öld. Þær gátu reiknað fjölda tölustafa mjög hratt. Bill Gosper, sem var fyrstur til að nota formúlu Ramanujans til að þoka áfram leitinni að tölustöfum $\pi$, setti met með 17 milljónum tölustafa árið 1985. Formúla Chudnovsky-bræðra varð til út frá formúlu Ramanujans árið 1987:

$${1 \over \pi} = {12\over 640320^{3/2}} \sum _{k=0}^{\infty} {{(6k)!(13591409+545140134k)} \over {(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}} $$

Hver liður formúlunnar gefur 14 tölustafi $\pi$ og hún hefur verið notuð til að setja nokkur met í $\pi$–reikningum, meðal annars að fara yfir 1 milljarð (10⁹) tölustafa árið 1989, 2,7 billjónir (2,7×10¹²) stafa árið 2009, 10 billjónir (10¹³) stafa árið 2011, yfir 22 billjónir stafa árið 2016 og yfir 50 billjónir árið 2020.

Tilvísun:

1. ^ Agarwal, Ravi P. og fl. (2013). Birth, growth and computation of pi to ten trillion digits. Advances in Continuous and Discrete Models. (Sótt 11.9.2023).

Heimild og myndir:

• Pi - Wikipedia. (Sótt 23.11.2020).
• Archimedes pi.svg - Wikimedia Commons. (Sótt 23.11.2020).
• First thousand digits of pi..jpg. Höfundur myndar: Tom Murphy. Birt undir Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported leyfi. (Sótt 23.11.2020).

...