Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:40 • sest 21:16 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 15:13 • Sest 05:59 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 03:57 • Síðdegis: 16:31 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:23 • Síðdegis: 22:34 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvernig er stærðfræðileg sönnun þess að a + b = b + a og að (a + b) + c = a + (b + c) ef a, b og c eru rauntölur?

Gunnar Þór Magnússon

Þessar vel þekktu reglur eru kallaðar víxl- og tengiregla samlagningar. Ásamt nokkrum öðrum vel þekktum reglum um samlagningu og margföldun mynda þær grundvallaraðgerðir þeirrar algebru sem maður lærir í grunn- og menntaskóla. Þrátt fyrir að þær virðist einfaldar og eðlilegar er þó ekki hlaupið að því að sanna þær, og þörfin á að gera það veltur á því hvernig maður skilgreinir rauntölurnar.

Til eru nokkrar mismunandi en jafngildar leiðir til að skilgreina rauntölurnar. Í næstum öllum greinum stærðfræðinnar eru rauntölurnar skilgreindar sem ótvírætt ákvarðað svið með ákveðna eiginleika. Svið er mengi ásamt tveimur aðgerðum, samlagningu + og margföldun •, og meðal þeirra eiginleika sem við krefjumst að samlagningin og margföldunin uppfylli eru víxl- og tengireglurnar.

Giuseppe Peano.

Þar sem þessar reglur eru teknar sem frumsendur eru þær því aldrei sannaðar, við treystum því bara að þær gildi. Þetta er gert vegna þess að yfirleitt hafa stærðfræðingar, verkfræðingar, og allir þeir sem nota rauntölurnar, áhuga á öðrum hlutum en víxl- og tengireglunni. Ljóst er að ef maður ætlar að byrja sérhvert reikningsdæmi á að leiða út þessar reglur verður ansi tímafrekt að komast í útreikningana sjálfa.

Þetta er þó ekki eina leiðin til að búa til rauntölurnar, heldur er líka hægt að skilgreina þær út frá ræðu tölunum. Ræðu tölurnar búum við til með heiltölunum, sem fást svo með náttúrlegu tölunum. Því kjósa rökfræðingar frekar að byrja á þeim. Þeir gefa sér eftirfarandi frumsendur, sem eru kenndar við Giuseppe Peano (1858 - 1932):

  1. Til er náttúrleg tala 0

  2. Sérhver náttúrleg tala a hefur eftirfara, sem er náttúrleg tala táknuð með S(a)

  3. Engin náttúrleg tala hefur eftirfarann 0

  4. Mismunandi náttúrlegar tölur hafa mismunandi eftirfara; ef a ≠ b, þá er S(a) ≠ S(b)

  5. Ef 0 hefur einhvern eiginleika, og eftirfari sérhverrar náttúrlegrar tölu hefur þennan eiginleika líka, þá hafa allar náttúrlegar tölur þennan eiginleika

Í stuttu máli tjá þessar forsendur að 0 er minnsta náttúrlega talan, og að ef við höfum náttúrlega tölu getum við bætt einum við hana og fengið nýja náttúrlega tölu. Síðasta frumsendan leyfir okkur svo að beita þrepasönnunum.

Við getum þó enn ekki reiknað neitt með þessum tölum, því við höfum ekki skilgreint neinar reikniaðgerðir. Samlagningu má skilgreina endurkvæmt þannig að fyrir allar náttúrlegar tölur a og b gildi að

  • a + 0 = a,
  • a + S(b) = S(a + b)

og síðan má skilgreina margföldun endurkvæmt þannig að

  • a ∙ 0 = 0
  • a ∙ S(b) = a + a ∙ b

fyrir allar náttúrlegar tölur a og b. Með því að beita þrepasönnun má nú sanna víxl- og tengireglurnar fyrir samlagningu og margföldun út frá frumsendum Peano.

Næsta skref er að skilgreina heilu tölurnar og sýna fram á að reglurnar gildi fyrir þær. Til þess tökum við eftir að með samlagningu mynda náttúrlegu tölurnar svokallaða víxlna semígrúpu; það er að segja að þær uppfylla að a + b = b + a, og einnig að a + b = a + c hefur í för með sér að b = c fyrir öll a, b og c. Þessir eiginleikar tryggja að til er svokölluð grúpa sem inniheldur náttúrlegu tölurnar, og minnstu slíka grúpu köllum við heilu tölurnar. Allar grúpur uppfylla tengi- og víxlreglurnar, svo við fáum þær ókeypis fyrir samlagningu. Reglurnar fyrir margföldun fást svo auðveldlega þegar við höfum skilgreint hana fyrir neikvæðar tölur.

Hér er mestu vinnunni lokið. Ræðu tölurnar skilgreinum við sem pör af heilum tölum, þannig að parið (n,m) svarar til ræðu tölunnar n/m. Samlagningu og margföldun má svo skilgreina þannig að

  • (n,m) + (p,q) = (nq + mp, mq)
  • (n,m) ∙ (p,q) = (np, mq)

og víxl- og tengireglurnar okkar fást beint af því að þær gilda fyrir heilu tölurnar.

Að lokum eru til nokkrar jafngildar leiðir til að skilgreina rauntölurnar út frá ræðu tölunum, en fyrir okkur er eðlilegast að hugsa okkur rauntölurnar sem markgildi runa af ræðum tölum, því það fer vel saman við tugabrotaframsetninguna. Þannig hugsum við til dæmis um óræðu töluna √2 sem markgildi tugabrotarunu sinnar:

1,4

1,41

1,4142

1,41421356

1,414213565237310

og svo framvegis. Vegna þess að rauntölurnar eru þá markgildi ræðra talna, og að víxl- og tengireglurnar gilda fyrir ræðar tölur, þá gilda þær líka fyrir rauntölurnar.

Mynd og frekara efni á Vísindavefnum:

Höfundur

Gunnar Þór Magnússon

Gunnar Þór Magnússon

stærðfræðingur

Útgáfudagur

3.11.2008

Spyrjandi

Orri Tómasson

Efnisorð

Tilvísun

Gunnar Þór Magnússon. „Hvernig er stærðfræðileg sönnun þess að a + b = b + a og að (a + b) + c = a + (b + c) ef a, b og c eru rauntölur? “ Vísindavefurinn, 3. nóvember 2008. Sótt 19. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=18187.

Gunnar Þór Magnússon. (2008, 3. nóvember). Hvernig er stærðfræðileg sönnun þess að a + b = b + a og að (a + b) + c = a + (b + c) ef a, b og c eru rauntölur? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=18187

Gunnar Þór Magnússon. „Hvernig er stærðfræðileg sönnun þess að a + b = b + a og að (a + b) + c = a + (b + c) ef a, b og c eru rauntölur? “ Vísindavefurinn. 3. nóv. 2008. Vefsíða. 19. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=18187>.

Chicago | APA | MLA

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hvernig er stærðfræðileg sönnun þess að a + b = b + a og að (a + b) + c = a + (b + c) ef a, b og c eru rauntölur?
Þessar vel þekktu reglur eru kallaðar víxl- og tengiregla samlagningar. Ásamt nokkrum öðrum vel þekktum reglum um samlagningu og margföldun mynda þær grundvallaraðgerðir þeirrar algebru sem maður lærir í grunn- og menntaskóla. Þrátt fyrir að þær virðist einfaldar og eðlilegar er þó ekki hlaupið að því að sanna þær, og þörfin á að gera það veltur á því hvernig maður skilgreinir rauntölurnar.

Til eru nokkrar mismunandi en jafngildar leiðir til að skilgreina rauntölurnar. Í næstum öllum greinum stærðfræðinnar eru rauntölurnar skilgreindar sem ótvírætt ákvarðað svið með ákveðna eiginleika. Svið er mengi ásamt tveimur aðgerðum, samlagningu + og margföldun •, og meðal þeirra eiginleika sem við krefjumst að samlagningin og margföldunin uppfylli eru víxl- og tengireglurnar.

Giuseppe Peano.

Þar sem þessar reglur eru teknar sem frumsendur eru þær því aldrei sannaðar, við treystum því bara að þær gildi. Þetta er gert vegna þess að yfirleitt hafa stærðfræðingar, verkfræðingar, og allir þeir sem nota rauntölurnar, áhuga á öðrum hlutum en víxl- og tengireglunni. Ljóst er að ef maður ætlar að byrja sérhvert reikningsdæmi á að leiða út þessar reglur verður ansi tímafrekt að komast í útreikningana sjálfa.

Þetta er þó ekki eina leiðin til að búa til rauntölurnar, heldur er líka hægt að skilgreina þær út frá ræðu tölunum. Ræðu tölurnar búum við til með heiltölunum, sem fást svo með náttúrlegu tölunum. Því kjósa rökfræðingar frekar að byrja á þeim. Þeir gefa sér eftirfarandi frumsendur, sem eru kenndar við Giuseppe Peano (1858 - 1932):

  1. Til er náttúrleg tala 0

  2. Sérhver náttúrleg tala a hefur eftirfara, sem er náttúrleg tala táknuð með S(a)

  3. Engin náttúrleg tala hefur eftirfarann 0

  4. Mismunandi náttúrlegar tölur hafa mismunandi eftirfara; ef a ≠ b, þá er S(a) ≠ S(b)

  5. Ef 0 hefur einhvern eiginleika, og eftirfari sérhverrar náttúrlegrar tölu hefur þennan eiginleika líka, þá hafa allar náttúrlegar tölur þennan eiginleika

Í stuttu máli tjá þessar forsendur að 0 er minnsta náttúrlega talan, og að ef við höfum náttúrlega tölu getum við bætt einum við hana og fengið nýja náttúrlega tölu. Síðasta frumsendan leyfir okkur svo að beita þrepasönnunum.

Við getum þó enn ekki reiknað neitt með þessum tölum, því við höfum ekki skilgreint neinar reikniaðgerðir. Samlagningu má skilgreina endurkvæmt þannig að fyrir allar náttúrlegar tölur a og b gildi að

  • a + 0 = a,
  • a + S(b) = S(a + b)

og síðan má skilgreina margföldun endurkvæmt þannig að

  • a ∙ 0 = 0
  • a ∙ S(b) = a + a ∙ b

fyrir allar náttúrlegar tölur a og b. Með því að beita þrepasönnun má nú sanna víxl- og tengireglurnar fyrir samlagningu og margföldun út frá frumsendum Peano.

Næsta skref er að skilgreina heilu tölurnar og sýna fram á að reglurnar gildi fyrir þær. Til þess tökum við eftir að með samlagningu mynda náttúrlegu tölurnar svokallaða víxlna semígrúpu; það er að segja að þær uppfylla að a + b = b + a, og einnig að a + b = a + c hefur í för með sér að b = c fyrir öll a, b og c. Þessir eiginleikar tryggja að til er svokölluð grúpa sem inniheldur náttúrlegu tölurnar, og minnstu slíka grúpu köllum við heilu tölurnar. Allar grúpur uppfylla tengi- og víxlreglurnar, svo við fáum þær ókeypis fyrir samlagningu. Reglurnar fyrir margföldun fást svo auðveldlega þegar við höfum skilgreint hana fyrir neikvæðar tölur.

Hér er mestu vinnunni lokið. Ræðu tölurnar skilgreinum við sem pör af heilum tölum, þannig að parið (n,m) svarar til ræðu tölunnar n/m. Samlagningu og margföldun má svo skilgreina þannig að

  • (n,m) + (p,q) = (nq + mp, mq)
  • (n,m) ∙ (p,q) = (np, mq)

og víxl- og tengireglurnar okkar fást beint af því að þær gilda fyrir heilu tölurnar.

Að lokum eru til nokkrar jafngildar leiðir til að skilgreina rauntölurnar út frá ræðu tölunum, en fyrir okkur er eðlilegast að hugsa okkur rauntölurnar sem markgildi runa af ræðum tölum, því það fer vel saman við tugabrotaframsetninguna. Þannig hugsum við til dæmis um óræðu töluna √2 sem markgildi tugabrotarunu sinnar:

1,4

1,41

1,4142

1,41421356

1,414213565237310

og svo framvegis. Vegna þess að rauntölurnar eru þá markgildi ræðra talna, og að víxl- og tengireglurnar gilda fyrir ræðar tölur, þá gilda þær líka fyrir rauntölurnar.

Mynd og frekara efni á Vísindavefnum:

...