Ef tíu frambjóðendur keppa um sex sæti í prófkjöri, á hve marga vegu geta sætin þá skipast?

Svar

Spyrjandi bætir svo við:

Getur verið að það sé um 150 þúsund vegu?

Það er rétt hjá spyrjanda að sætin geta skipast á rúmlega 150 þúsund vegu eða nákvæmlega 151.200 vegu.

Hægt er að hugsa dæmið þannig að hver hinna tíu frambjóðenda gæti lent í fyrsta sæti. Þá gæti einhver hinna níu lent í öðru sæti; átta möguleikar eru á að skipa þriðja sætið og svo koll af kolli.

Þannig gætu sætin raðast á

10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 = 151.200 vegu.

Ef við köllum hvern frambjóðanda með bókstaf, A, B, C, D, E, F, G, H, I og J, má til dæmis byrja á að raða þeim upp svona:

A-B-C-D-E-F
A-B-C-D-E-G
A-B-C-D-E-H
A-B-C-D-E-I
A-B-C-D-E-J

Þannig má halda áfram þar til allir 151.200 möguleikarnir eru komnir fram.

Fyrir þá sem eiga erfitt að trúa að möguleikarnir séu svona margir, getum við tekið dæmi með færri frambjóðendum. Segjum að fjórir frambjóðendur (A, B, C og D) keppi um þrjú sæti og skoðum mögulegar niðurstöður. Röðum upp öllum möguleikum:

ABC   -   BAC   -   CAB   -   DAB
ABD   -   BAD   -   CAD   -   DAC
ACB   -   BCA   -   CBA   -   DBA
ACD   -   BCD   -   CBD   -   DBC
ADB   -   BDA   -   CDA   -   DCA
ADC   -   BDC   -   CDB   -   DCB

Þegar við höfum fullvissað okkur um að möguleikarnir séu ekki fleiri getum við reiknað fjölda þeirra á sama hátt og áður:

4 ∙ 3 ∙ 2 = 24

Þetta kemur heim og saman við talningu á fjölda möguleika hér að ofan.

Þegar stærðfræðingar fást við þessa hluti nota þeir oft sérstakt fall (function) sem nefnist aðfeldisfall (factorial function) eða hrópmerkt tala (factorial number) og er táknað með upphrópunarmerki. Þannig er til dæmis

5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ n

þar sem n táknar ótiltekna heila plústölu. Með hjálp þessa falls má skrifa töluna sem rætt er um í upphafi svarsins sem

10!/4! = 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1/(4∙3∙2∙1) = 10∙9∙8∙7∙6∙5 = 151.200

Að lokum er rétt að nefna að hér er í raun spurt á hve marga vegu má raða mönnum úr 10 manna hópi í 6 sæti en einnig hefði mátt spyrja á hve marga vegu sé hægt að úthluta 6 sætum til einstaklinga í 10 manna hópi, án þess að spurt sé um röðun. Sú spurning jafngildir því á hve marga vegu sé hægt að skipta 10 mismunandi hlutum í tvennt þannig að sex lendi öðrum megin en fjórir hinum megin.

Allar raðanir með sömu sex mönnum í sætunum hér á undan eru þá sama úthlutunin en fjöldi þessara raðana er 6! = 720. Við deilum með þeirri tölu í fjölda raðana og fáum að úthlutanir eða skiptingar eru samtals

10!/(4! ∙ 6!) = 4300