Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
Sólin Sólin Rís 10:17 • sest 16:10 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 21:40 • Sest 15:54 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 10:12 • Síðdegis: 22:46 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 03:46 • Síðdegis: 16:36 í Reykjavík
LeiðbeiningarTil baka

Sendu inn spurningu

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=
Forsíða Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði Hvað eru vináttutölur?

Flokkun:

13.2.2009
Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hvað eru vináttutölur?

Kristín Bjarnadóttir

Allar tölur eiga sér nokkra deila, það er tölur sem ganga upp í þær. Talan sjálf og einn ganga upp í allar tölur og sumar tölur hafa marga deila. Dæmi um deila talna eru:
3 – 1, 3

4 – 1, 2, 4

5 – 1, 5

6 – 1, 2, 3, 6

7 – 1, 7

8 – 1, 2, 4, 8

Ef talan sjálf er talin frá standa eftir eiginlegir deilar sem svo eru nefndir. Eiginlegir deilar tölunnar 6 eru 1, 2 og 3. Ef eiginlegir deilar tölunnar 6 eru lagðir saman, 1 + 2 + 3, er summa þeirra 6, talan sjálf.

Tala er nefnd fullkomin tala ef hún hefur þá eiginleika að summa eiginlegra deila hennar er talan sjálf eins og á við töluna 6.

Vináttutölur (e. amicable numbers), eru skyldar fullkomnu tölunum. Tvær tölur kallast vináttutölur ef summa eiginlegra deila hvorrar þeirra er jöfn hinni tölunni.

Eiginlegir deilar 220 eru 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 og summa þeirra er 284.

Eiginlegir deilar 284 eru 1, 2, 4, 71, 142 og summa þeirra er 220.

Tölurnar 284 og 220 eru því vináttutölur.

Fyrstu vináttutölurnar eru (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564) og (6232, 6368).

Áhuga á vináttutölum má rekja aftur til fornaldarinnar en Pýþagóringar eignuðu þeim dulræna eiginleika. Arabíski stærðfræðingurinn Thābit ibn Qurra (826-901) setti fram formúlu fyrir vináttutölum um árið 850. Formúlan var enduruppgötvuð af Fermat (1601-1665) árið 1636 og Descartes (1596-1650) árið 1638. Formúlan gefur aðeins takmarkaðan fjölda vináttutalnapara, (220, 284), (17.296, 18.416) og (9.363.584, 9.437.056). Leonhard Euler (1707–1783) fann almennari formúlu sem bætir fleiri pörum við. Langt er samt frá því að formúlur þessar segi fyrir um öll pör vináttutalna.

Formúla Thābits segir að séu
p = 3 × 2n − 1 − 1

q = 3 × 2n − 1

r = 9 × 22n − 1 − 1

þar sem n > 1 er heil tala og p, q og r eru frumtölur, þá séu 2npq og 2nr vináttutölur.

Ekki er vitað hvort til séu óendanlega margar vináttutölur. Til eru pör oddatalna sem eru vináttutölur, til dæmis (12285, 14595), en ekki er vitað hvort til séu vináttutölur þar sem önnur talan er slétt tala en hin oddatala.

Heimildir:
  • Ore, O. (1948). Number theory and its history. New York: McGraw-Hill.
  • Wikipedia, the Free Encyclopedia. Amicable number, sótt 10. febrúar 2009.
  • Wolfram Math World. Amicable Pair, sótt 10. febrúar 2009.

Höfundur

Kristín Bjarnadóttir

Kristín Bjarnadóttir

prófessor emerita

Útgáfudagur

13.2.2009

Spyrjandi

Fidel Quintero Gasparsson, f. 1996

Efnisorð

Tilvísun

Kristín Bjarnadóttir. „Hvað eru vináttutölur?“ Vísindavefurinn, 13. febrúar 2009, sótt 21. nóvember 2024, https://visindavefur.is/svar.php?id=51080.

Kristín Bjarnadóttir. (2009, 13. febrúar). Hvað eru vináttutölur? Vísindavefurinn. https://visindavefur.is/svar.php?id=51080

Kristín Bjarnadóttir. „Hvað eru vináttutölur?“ Vísindavefurinn. 13. feb. 2009. Vefsíða. 21. nóv. 2024. <https://visindavefur.is/svar.php?id=51080>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Skoða öll nýjustu svörin

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki

Senda grein til vinar

=

Hvað eru vináttutölur?
Allar tölur eiga sér nokkra deila, það er tölur sem ganga upp í þær. Talan sjálf og einn ganga upp í allar tölur og sumar tölur hafa marga deila. Dæmi um deila talna eru:

3 – 1, 3

4 – 1, 2, 4

5 – 1, 5

6 – 1, 2, 3, 6

7 – 1, 7

8 – 1, 2, 4, 8

Ef talan sjálf er talin frá standa eftir eiginlegir deilar sem svo eru nefndir. Eiginlegir deilar tölunnar 6 eru 1, 2 og 3. Ef eiginlegir deilar tölunnar 6 eru lagðir saman, 1 + 2 + 3, er summa þeirra 6, talan sjálf.

Tala er nefnd fullkomin tala ef hún hefur þá eiginleika að summa eiginlegra deila hennar er talan sjálf eins og á við töluna 6.

Vináttutölur (e. amicable numbers), eru skyldar fullkomnu tölunum. Tvær tölur kallast vináttutölur ef summa eiginlegra deila hvorrar þeirra er jöfn hinni tölunni.

Eiginlegir deilar 220 eru 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 og summa þeirra er 284.

Eiginlegir deilar 284 eru 1, 2, 4, 71, 142 og summa þeirra er 220.

Tölurnar 284 og 220 eru því vináttutölur.

Fyrstu vináttutölurnar eru (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564) og (6232, 6368).

Áhuga á vináttutölum má rekja aftur til fornaldarinnar en Pýþagóringar eignuðu þeim dulræna eiginleika. Arabíski stærðfræðingurinn Thābit ibn Qurra (826-901) setti fram formúlu fyrir vináttutölum um árið 850. Formúlan var enduruppgötvuð af Fermat (1601-1665) árið 1636 og Descartes (1596-1650) árið 1638. Formúlan gefur aðeins takmarkaðan fjölda vináttutalnapara, (220, 284), (17.296, 18.416) og (9.363.584, 9.437.056). Leonhard Euler (1707–1783) fann almennari formúlu sem bætir fleiri pörum við. Langt er samt frá því að formúlur þessar segi fyrir um öll pör vináttutalna.

Formúla Thābits segir að séu
p = 3 × 2n − 1 − 1

q = 3 × 2n − 1

r = 9 × 22n − 1 − 1

þar sem n > 1 er heil tala og p, q og r eru frumtölur, þá séu 2npq og 2nr vináttutölur.

Ekki er vitað hvort til séu óendanlega margar vináttutölur. Til eru pör oddatalna sem eru vináttutölur, til dæmis (12285, 14595), en ekki er vitað hvort til séu vináttutölur þar sem önnur talan er slétt tala en hin oddatala.

Heimildir:
  • Ore, O. (1948). Number theory and its history. New York: McGraw-Hill.
  • Wikipedia, the Free Encyclopedia. Amicable number, sótt 10. febrúar 2009.
  • Wolfram Math World. Amicable Pair, sótt 10. febrúar 2009.
...