Hver var Leonardó Fibonacci og hvert var framlag hans til stærðfræðinnar?

Svar

Stærðfræðingurinn Leonardó Pisano Bigollo eða Leonardó frá Písa, oftar nefndur Fibonacci, er talinn hafa fæðst árið 1170 í Písa á Ítalíu og látist árið 1250, einnig í Písa. Hann var af Bonacci-fjölskyldunni kominn. Þar af stafar gælunafnið Fibonacci – Filius Bonacci – sonur Bonaccis, sem var líklega fundið upp af ítölskum sagnfræðingi á 19. öld en engin heimild er fyrir því að Leonardó sjálfur eða samtíðarmenn hans hafi notað það nafn.

Leonardó var uppi á tímum krossferða, mikilla átaka milli páfans og Friðriks II., keisara hins heilaga rómverska ríkis, og hann var samtíðarmaður heilags Frans frá Assisí. Íbúar hafnarborganna Genúa, Písa, Feneyja og Amalfí öttu kappi um verslun á Miðjarðarhafi við aðrar siglingaþjóðir, svo sem Mára og Býsansbúa. Leonardó hlaut menntun sína í stærðfræði í Bugía, verslunarstað sem borgríkið Písa hafði stofnað á strönd Norður-Afríku á áhrifasvæði Mára. Faðir Leonardós gegndi þar stöðu diplómats sem fulltrúi kaupmanna frá Písa. Bugía nefnist nú Bejaia og er hafnarborg í norðausturhluta Alsír.

Leonardó ferðaðist víða um Miðjarðarhafið, fyrst með föður sínum. Á þessum ferðum bætti hann sífellt við stærðfræðiþekkingu sína, meðal annars í Egyptalandi, Sýrlandi, Provence og Býsansríkinu, og hann stofnaði til kynna við fræðimenn umhverfis Miðjarðarhafið. Leonardó kynntist fornu vinnulagi Grikkja í stærðfræði með skilgreiningum, reglum og sönnunum og þekkti Frumatriði Evklíðs, sem höfðu varðveist í arabískum þýðingum og var tekið að þýða á latínu á 12. öld. Enn fremur kynntist hann verkum hins persneska Muhameds ibn-Musa al-Kwarizmis (780–850) um reikning og algebru. Leonardó urðu snemma ljósir miklir yfirburðir hins índó-arabíska sætisritháttar talna sem hann lærði af arabískum fræðimönnum. Þessi talnaritun hafði raunar borist til Evrópu þegar losna tók um yfirráð Mára á Spáni á 12. öld. Nokkrar latneskar þýðingar urðu þá til af ritum al-Kwarizmis en þekking á efni þeirra var þá ekki enn orðin útbreidd.

Leonardó Pisano bætti úr því. Hann hætti ferðalögum um árið 1200, settist að í Písa og hóf að rita bækur um stærðfræði. Fyrst þeirra var víðkunn bók, Liber abaci eða Reikningsbók (myndin til hægri sýnir blaðsíðu úr henni), sem líta má á sem eins konar alfræðibók um stærðfræði þess tíma. Áður höfðu Evrópumenn ritað tölur með bókstöfum, rómverskri talnaritun, og reiknað á talnagrindum en hin nýja talnaritun varð til þess að menn gátu reiknað á blaði eða á sandi eða vaxtöflum þar sem pappír var dýr og sjaldfenginn.

Leonardó varð gestur við hirð Friðriks II. sem leitaði uppi og safnaði að sér helstu fræðimönnum þrettándu aldar. Árið 1240 heiðraði borgríkið Písa Leonardó með því að veita honum laun. Hvort tveggja hefur væntanlega auðveldað honum að helga sig skriftum. Bækur Leonardós urðu alls sjö en tvær þeirra hafa glatast. Þær voru:

• Liber abaci (1202), Reikningsbók (ensk þýðing eftir Laurence Sigler).
• Practica geometriae (1220), um rúmfræði og hornafræði.
• Flos (1225), þar sem er meðal annars námundunarlausn þriðja stigs jöfnu.
• Liber quadratorum (1225), Bókin um ferninga, um jöfnur með heiltölulausnum, (díófantískar jöfnur), tileinkuð Friðriki II. keisara (ensk þýðing eftir L. Sigler).
• Di minor guisa, um viðskiptareikning (glötuð).
• Skýringar við bók X í Frumatriðum Evklíðs (glötuð).

Fyrstu sjö kaflar Liber abaci mynda fyrsta hluta bókarinnar. Hann er helgaður aðferðum við reikniaðgerðirnar fjórar: samlagningu, frádrátt, margföldun og deilingu heilla talna og brotinna. Margvísleg dæmi um viðskipti taka við í öðrum hluta bókarinnar, sem nær yfir 8. til 10. kafla. Ber þar fyrst að nefna hlutfallareikning, svonefnda þríliðu, sem felst í því að finna fjórðu töluna þegar þrjár eru þekktar. Fyrsta talan getur til dæmis verið magn vöru, önnur er verð þess magns og hin þriðja er annað magn sömu vöru. Spurt um verð þess magns og það verður þá fjórða talan. Þríliðan rekur rætur sínar langt aftur í aldir, og var víða kennd í skólum, meðal annars á Íslandi fram yfir miðja tuttugustu öld. Þríliða var ekki síst gagnleg til að reikna milli gjaldmiðla, sem lengi voru margir og ólíkir, svo og milli mælieininga ýmiss konar.

Ellefti og tólfti kafli mynda þriðja hluta Liber abaci. Þar er að finna dæmi, sem hefur borið frægð höfundarins einna víðast, og nefnt er Fibonacci-runan. Dæmið um hana hljóðar svo:

Maður nokkur kom kanínupari fyrir á stað sem var umlukinn vegg á allar hliðar. Hve mörg pör af kanínum verða til af þessu kanínupari á ári ef gert er ráð fyrir að á hverjum mánuði eignist hvert par nýtt par sem einnig fæðir af sér pör frá og með öðrum mánuði?

Af þessu sprettur runan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Fibonacci sleppti fyrsta liðnum í Liber abaci). Runa þessi, þar sem sérhver liður er summa tveggja næstu liða á undan, hefur reynst vera afar gjöful í stærðfræðilegu tilliti. Runan kemur fram á mörgum sviðum stærðfræði og raunvísinda, jafnvel svo að tímarit, helgað rannsóknum tengdum rununni, Fibonacci Quarterly, kemur út ársfjórðungslega. Vitað er að Indverjar þekktu rununa þegar á 6. öld en á Vesturlöndum birtist hún fyrst í Liber abaci. Eftir því sem hærra dregur í rununni nálgast hlutfallið milli tveggja samliggjandi liða gullinsniðshlutfallið:
\[
\frac{1+\sqrt5}2 \approx 1,618\ldots
\] Fjölda annarra dæma er að finna í þriðja hluta Liber abaci. Hér eru tvö slík sem þekkjast í ýmsum útgáfum meðal margra fornþjóða:

Maður nokkur fór í lystigarð og gekk um sjö hlið. Hann tíndi fjölda epla í garðinum. Þegar hann fór til baka gaf hann hliðverðinum við sérhvert hliðanna helming eplanna og eitt að auki. Þegar hann kom út úr garðinum stóð hann eftir með eitt epli. Hversu mörg epli tíndi maðurinn?

og þetta:

Maður kaupir 30 fugla, sem eru akurhænur, dúfur og spörvar, fyrir 30 denara. Akurhænu kaupir hann fyrir 3 denara, dúfu fyrir 2 denara og 2 spörva fyrir 1 denar, nefnilega einn spörfugl fyrir 1/2 denar. Leitað er eftir hve margir fuglar eru keyptir af hverri tegund.

Leonardó sýndi fram á margar reglur sem síðar urðu kunnar á Vesturlöndum, svo sem kínversku leifaregluna, reglu til að finna fullkomnar tölur og reglu til að finna tilteknar frumtölur, sem síðar voru kenndar við franska stærðfræðinginn Mersenne (1588–1648) og nefndar Mersenne-frumtölur. Ýmsar gerðir dæma, sem sjá má í mörgum myndum í fornum ritum, er að finna í Liber abaci, til að mynda þessar:

Ljón er ofan í gryfju, 50 feta djúpri. Ljónið skríður upp, 1/7 úr feti á dag, og hrapar síðan 1/9 úr feti á hverri nóttu. Hve lengi er ljónið að komast uppúr gryfjunni?

Um hund og ref ... refur á flótta er 50 skrefum á undan hundi. Refurinn fer 6 skref fyrir hver 9 skref hundsins sem eltir ... Spurt er um eftir hve mörg skref hundurinn nái refnum.

Í síðasta hluta bókarinnar er að finna drátt ferningsrótar og teningsrótar, og í fimmtánda kafla í lok bókarinnar eru rúmfræðireglur og reglur um jöfnulausnir.

Leonardó sannaði líka margar áhugaverðar setningar í talnafræði. Hér er dæmi um slíka setningu:

Ekki eru til neinar heiltölur $x$, $y$, þannig að $x^2+y^2$ og $x^2-y^2$ séu báðar ferningstölur, og $x^4-y^4$ getur ekki verið ferningstala.

Mörg dæma Leonardós eru af arabískum og kínverskum uppruna. Styrkur Liber abaci liggur meðal annars í að Leonardó safnaði margvíslegum fróðleik frá fjarlægum menningarsvæðum og horfnum menningarheimum á einn stað og kynnti fyrir Evrópubúum síðmiðalda sem haldnir voru vaxandi menntaþorsta.

Bókin um ferninga, Liber quadratorum, sem rituð var 1225, þykir merkilegasta verk Leonardós þó að hann hafi orðið frægari fyrir að kynna indó-arabísku talnaritunina og dæmið um kanínurnar. Liber quadratorum er um talnafræði. Þar fjallar höfundur meðal annars um pýþagórskar þrenndir og lýsir því hvernig hann hafi áttað sig á að ferningstölur má mynda af summum oddatalna og hvernig ferningstölur verða til ein af annarri samkvæmt formúlunni
\[
n^2 + (2n+1) = (n+1)^2.
\] Leonardó setti fram mjög nákvæma námundunarlausn á rót þriðja stigs jöfnunnar
\[
10x+2x^2+x^3=20
\] í bók sinni Flos frá 1225. Leonardó sannaði að rót jöfnunnar gæti hvorki verið heil tala, brot né ferningsrót af broti. Lausnin var $1,\!22,\!7,\!42,\!33,\!4,\!40$, rituð með sextugarithætti, en með tugveldarithætti
\[
1 + \frac{22}{60} + \frac7{60^2} + \frac{42}{60^3} + \ldots
\] eða $1,\!3688081075$, rituð á tugabrotsformi. Það má telja stórkostlegt afrek að reikna rótina með tækni þess tíma. Dæmið kom fyrst fram í algebrubók Omars Khayyam (1048–1142) sem leysti það sem skurðpunkta hrings og breiðboga (hýperbólu).

Frægð Leonardós varð ekki eins mikil og efni gátu staðið til og framlag hans til talnafræði fór fram hjá samtíðarmönnum hans en áhrifa af verkum hans gætir meðal síðari höfunda, ekki síst í algebru.

Heimildir:

• Fibonacci. Wikipedia, the Free Encyclopedia.
• Fibonacci Quarterly. Útgefandi: The Fibonacci Association.
• Katz, V.J. (1993). A History of Mathematics. An Introduction. New York: HarperCollins College Publishers.
• Kristín Bjarnadóttir (2010). Hvað er þríliða? Netla, tímarit um uppeldi og menntun.
• Leonardo Pisano Fibonacci. Vefsíða Háskólans í St. Andrews, Skotlandi.
• Sigler, L.E. (útg.) (1987). The Book of Squares. Orlando: Academic Press.
• Sigler, L.E. (útg.) (2003). Fibonacci’s Liber Abaci. New York: Springer.

Myndir:

• Fibonacci: Wikipedia: Fibonacci. Sótt 9. september 2011.
• Fibonacci: Wikipedia: Liber Abaci. Sótt 9. september 2011.