Senda inn spurningu
Sólin Sólin Rís 05:40 • sest 21:16 í Reykjavík
Tunglið Tunglið Rís 15:13 • Sest 05:59 í Reykjavík
Flóð Flóð Árdegis: 03:57 • Síðdegis: 16:31 í Reykjavík
Fjaran Fjara Árdegis: 10:23 • Síðdegis: 22:34 í Reykjavík
Visit the English version

Flokkun:

Náttúruvísindi og verkfræði Stærðfræði

Hversu gamlar eru pýþagórískar þrenndir?

Kristín Bjarnadóttir

Saga pýþagórískra þrennda er mun eldri en saga Pýþagórasar. Á leirtöflu frá Babýlon sem talin er vera frá um 1700 f. Kr. og er nefnd Plimpton 322 hafa fundist skýr merki um áhuga og þekkingu á pýþagórískum þrenndum.



Plimpton 322 leirtaflan.

Fyrstu línur töflunnar líta þannig út, aðlagaðar að nútímarithætti með fáeinum leiðréttingum og tilgátu um fimmta dálkinn, talinn frá hægri, það er y. Línurnar voru alls 15.

y(d/y)2 x (breidd)d (hornalína)#
1201,98340281191691
34561,949158633674.8252
48001,91880214.6016.6493
135001,886247912.70918.5414
721,815007765975
3601,78519293194816

Lesið frá hægri eru fyrst gefnar tvær tölur, sem nefna má d og x. Í Plimpton 322 eru þessir dálkar nefndir breidd og hornalína. Auðvelt er að sjá að mismunurinn á öðru veldi af hornalínunni og öðru veldi af breiddinni er ferningstala. Síðan kemur hlutfallið \(\frac{d}{y}\) þar sem y er þriðja talan í þrenndinni þannig að x2 + y2 = d2.

Talið er fullvíst að pýþagórískar þrenndir með svo háum tölum hafa ekki verið fundnar með ágiskun en ekki er vitað nákvæmlega hvernig þær voru fundnar. Fræðimenn hallast að því að það hafi verið gert með töluvert flóknum jöfnureikningum.

Hlutfallið \(\frac{d}{y}\) bendir til þess að leitað hafi verið heiltölulausna á jöfnunni \((\frac{x}{y})^{2}+1=(\frac{d}{y})^{2}\). Ef sett er \(u=\frac{x}{y}\) og \(v=\frac{d}{y}\) er leitað lausna á jöfnunni v2 - u2 = 1 eða (v + u)(v – u) = 1. Babýloníumenn notuðu brot með nefnaranum 60 og voru mjög leiknir í brotareikningi. Þeir höfðu búið til töflur yfir margföldunarandhverfur brota og áttu því auðvelt með að leysa slíkar jöfnur.

Ef til dæmis v – u = 4/9 er v + u = 9/4. Séu þessar jöfnur leystar saman fást u = 97/72 og u = 65/72. Margfaldað með y = 72 fást gildin x = 65 og d = 97. Þessa þrennd, 65 – 72 – 97 er að finna í Plimpton 322 töflunni, það er að segja 97, 65 og 97/72.

Hvort sem þessi tilgáta er rétt eða ekki ber texti leirtöflunnar vitni um háþróaða þekkingu á tölum hjá Babýloníumönnum þegar fyrir tæpum 4000 árum.

Á leirtöflunni eru það aðeins yfirskriftir dálkanna, breidd og hornalína, sem benda til flatarmyndar. Hins vegar eru til aðrar leirtöflur frá Babýloníu sem bera vitni um að Pýþagórasarregla hafi verið notuð á flatarmyndir, það er að segja að menn hafi vitað að í þríhyrningi sem hefði pýþagórískar þrenndir fyrir hliðar, væri rétt horn á móti lengstu hliðinni.

Ennfremur eru til heimildir um að bæði Indverjar og Kínverjar hafa þekkt pýþagórískar þrenndir á tímabilinu 1000 – 500 f. Kr.

Heimildir og mynd:
  • Victor Katz: A History of Mathematics. An Introduction. HarperCollins College Publishers. New York. 1993.
  • Asger Aaboe: Episodes from the Early History of Mathematics. Mathematical Association of America. New Mathematics Library, 1975.
  • Mesopotamian Mathematics Page

Höfundur

Kristín Bjarnadóttir

Kristín Bjarnadóttir

prófessor emerita

Útgáfudagur

18.12.2003

Spyrjandi

Ritstjórn

Efnisorð

Tilvísun

Kristín Bjarnadóttir. „Hversu gamlar eru pýþagórískar þrenndir?“ Vísindavefurinn, 18. desember 2003. Sótt 19. apríl 2024. http://visindavefur.is/svar.php?id=3921.

Kristín Bjarnadóttir. (2003, 18. desember). Hversu gamlar eru pýþagórískar þrenndir? Vísindavefurinn. Sótt af http://visindavefur.is/svar.php?id=3921

Kristín Bjarnadóttir. „Hversu gamlar eru pýþagórískar þrenndir?“ Vísindavefurinn. 18. des. 2003. Vefsíða. 19. apr. 2024. <http://visindavefur.is/svar.php?id=3921>.

Chicago | APA | MLA

Tengd svör

Þessi síða notar vafrakökur Nánari upplýsingar

Ég samþykki
Spyrja

Sendu inn spurningu LeiðbeiningarTil baka

Hér getur þú sent okkur nýjar spurningar um vísindaleg efni.

Hafðu spurninguna stutta og hnitmiðaða og sendu aðeins eina í einu. Einlægar og vandaðar spurningar um mikilvæg efni eru líklegastar til að kalla fram vönduð og greið svör. Ekki er víst að tími vinnist til að svara öllum spurningum.

Persónulegar upplýsingar um spyrjendur eru eingöngu notaðar í starfsemi vefsins, til dæmis til að svör verði við hæfi spyrjenda. Spurningum er ekki sinnt ef spyrjandi villir á sér heimildir eða segir ekki nægileg deili á sér.

Spurningum sem eru ekki á verksviði vefsins er eytt.

Að öðru leyti er hægt að spyrja Vísindavefinn um allt milli himins og jarðar!

=

Senda grein til vinar

=

Hversu gamlar eru pýþagórískar þrenndir?
Saga pýþagórískra þrennda er mun eldri en saga Pýþagórasar. Á leirtöflu frá Babýlon sem talin er vera frá um 1700 f. Kr. og er nefnd Plimpton 322 hafa fundist skýr merki um áhuga og þekkingu á pýþagórískum þrenndum.



Plimpton 322 leirtaflan.

Fyrstu línur töflunnar líta þannig út, aðlagaðar að nútímarithætti með fáeinum leiðréttingum og tilgátu um fimmta dálkinn, talinn frá hægri, það er y. Línurnar voru alls 15.

y(d/y)2 x (breidd)d (hornalína)#
1201,98340281191691
34561,949158633674.8252
48001,91880214.6016.6493
135001,886247912.70918.5414
721,815007765975
3601,78519293194816

Lesið frá hægri eru fyrst gefnar tvær tölur, sem nefna má d og x. Í Plimpton 322 eru þessir dálkar nefndir breidd og hornalína. Auðvelt er að sjá að mismunurinn á öðru veldi af hornalínunni og öðru veldi af breiddinni er ferningstala. Síðan kemur hlutfallið \(\frac{d}{y}\) þar sem y er þriðja talan í þrenndinni þannig að x2 + y2 = d2.

Talið er fullvíst að pýþagórískar þrenndir með svo háum tölum hafa ekki verið fundnar með ágiskun en ekki er vitað nákvæmlega hvernig þær voru fundnar. Fræðimenn hallast að því að það hafi verið gert með töluvert flóknum jöfnureikningum.

Hlutfallið \(\frac{d}{y}\) bendir til þess að leitað hafi verið heiltölulausna á jöfnunni \((\frac{x}{y})^{2}+1=(\frac{d}{y})^{2}\). Ef sett er \(u=\frac{x}{y}\) og \(v=\frac{d}{y}\) er leitað lausna á jöfnunni v2 - u2 = 1 eða (v + u)(v – u) = 1. Babýloníumenn notuðu brot með nefnaranum 60 og voru mjög leiknir í brotareikningi. Þeir höfðu búið til töflur yfir margföldunarandhverfur brota og áttu því auðvelt með að leysa slíkar jöfnur.

Ef til dæmis v – u = 4/9 er v + u = 9/4. Séu þessar jöfnur leystar saman fást u = 97/72 og u = 65/72. Margfaldað með y = 72 fást gildin x = 65 og d = 97. Þessa þrennd, 65 – 72 – 97 er að finna í Plimpton 322 töflunni, það er að segja 97, 65 og 97/72.

Hvort sem þessi tilgáta er rétt eða ekki ber texti leirtöflunnar vitni um háþróaða þekkingu á tölum hjá Babýloníumönnum þegar fyrir tæpum 4000 árum.

Á leirtöflunni eru það aðeins yfirskriftir dálkanna, breidd og hornalína, sem benda til flatarmyndar. Hins vegar eru til aðrar leirtöflur frá Babýloníu sem bera vitni um að Pýþagórasarregla hafi verið notuð á flatarmyndir, það er að segja að menn hafi vitað að í þríhyrningi sem hefði pýþagórískar þrenndir fyrir hliðar, væri rétt horn á móti lengstu hliðinni.

Ennfremur eru til heimildir um að bæði Indverjar og Kínverjar hafa þekkt pýþagórískar þrenndir á tímabilinu 1000 – 500 f. Kr.

Heimildir og mynd:
  • Victor Katz: A History of Mathematics. An Introduction. HarperCollins College Publishers. New York. 1993.
  • Asger Aaboe: Episodes from the Early History of Mathematics. Mathematical Association of America. New Mathematics Library, 1975.
  • Mesopotamian Mathematics Page
...